Giải SBT Toán 12 Bài 16. Công thức tính góc trong không gian

Ta có: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (1; −1; 2) và \(\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} \) = (2; 1; 1) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ và ∆'.

Do đó, cos\(\left( {\Delta ,\Delta '} \right)\) = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.2 + 1.( - 1) + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }}\) = \(\frac{1}{2}\).

⇒ \(\left( {\Delta ,\Delta '} \right)\) = 60°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng 60°.

Ta có: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (−2; 1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

            \(\overrightarrow {{n_P}} \) = (1; 2; −2) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Do đó: sin\(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)\) = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right)} \right|\) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} \overrightarrow {{n_P}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|}} = \frac{{\left| { - 2.1 + 1.2 + 2.( - 2)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}\) = \(\frac{4}{9}\)

⇒\(\left( {\Delta ,\left( P \right)} \right)\) ≈ 26,4°.

Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} \)= (2; −1; 2), \(\overrightarrow {{n_Q}} \) = (1; 1; −1) lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Do đó: cos\(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)\) = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).1 + 2.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + \left( { - {1^2}} \right)} }}\)= \(\frac{{\sqrt 3 }}{9}\).

⇒ \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right)\) ≈ 78,9°.

a) Ta có: \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (0; \(\sqrt 3 \); 1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆.

                \(\overrightarrow k \) = (0; 0; 1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy).

Do đó, \(\sin \left( {\Delta ,\left( {Oxy} \right)} \right)\) = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow k } \right)} \right|\) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{\left| {0.0 + \sqrt 3 .0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }}\) = \(\frac{1}{2}\).

⇒ \(\left( {\Delta ,\left( {Oxy} \right)} \right)\) = 30°.

Trong khoảng thời gian ngắn đó, máy bay chuyển động trên đường thẳng ∆ đi qua A nhận \(\overrightarrow v \) = (1; 4; 1) làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường thẳng ∆ là: \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{4} = \frac{z}{1}\).

Một vectơ chỉ phương của trục Oy là \(\overrightarrow j \) = (0; 1; 0).

Ta có: cos(∆, Oy) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow v .\overrightarrow j } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow j } \right|}}\) = \(\frac{{\left| {1.0 + 4.1 + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

⇒ (∆, Oy) ≈ 19,5°.

Đường thẳng ∆₁ qua điểm A(2; −1; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) = (1; 2; 1).

Đường thẳng ∆₂ qua điểm B(−1; 2; −1) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \) = (3; 1; 4).

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (−3; 3; −1), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) = (7; −1; −5).

⇒ \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} \) = −19 ≠ 0.

Suy ra ∆₁ và ∆₂ chéo nhau.

Vậy nút giao thông đó là nút giao thông khác mức.

b) Ta có: cos(∆₁, ∆₂) = \(\frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.3 + 2.1 + 1.4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2} + {4^2}} }}\) = \(\frac{9}{{\sqrt {156} }}\).

⇒ (∆₁, ∆₂) ≈ 43,9°.