Giải SBT Toán 12 Bài 17. Phương trình mặt cầu

a) Gọi I(x; y; z) là trung điểm của AB, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2 + 2}}{2} = 2\\y = \frac{{1 + 1}}{2} = 1\\z = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\end{array} \right.\)⇒ I(2; 1; 2).

Mặt cầu đường kính AB có tâm là I(2; 1; 2) và bán kính R = IA.

 IA = \(\sqrt {{{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}} \) = 1.

Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là:

(x – 2)² + (y – 1)² + (z – 2)² = 1².

⇔ (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 2)² = 1.

b) Mặt cầu (S) tâm O và đi qua A có bán kính R = OA.

OA = \(\sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}} \)= \(\sqrt 6 \).

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (x – 0)² + (y – 0)² + (z – 0)² = \({\left( {\sqrt 6 } \right)^2}\).

⇔ x² + y² + z² = 6.

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên R = d(I, (P)).

Ta có: R = d(I, (P)) = \(\frac{{\left| {2 + 2.( - 1) + 2.2 - 10} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }}\) = 2.

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (x – 2)² + (y + 1)² + (z – 2)² = 2².

⇔ (x – 2)² + (y + 1)² + (z – 2)² = 4.

a) Ta có (S): (x – 1)² + y² + (z + 2)² = 9

                ⇔ (x – 1)² + (y – 0)² + (z – (−2))² = 3².

Vậy mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; −2) và bán kính R = 3.

b) Ta có: IA = \(\sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 2} \right)}^2}} \) = \(\sqrt 6 \) < 3.

Do đó, điểm A nằm trong mặt cầu (S).

a) Phương trình có các hệ số a = −1, b = 0, c = 2 và d = 2.

⇒ a² + b² + c² – d = (−1)² + 0² + 2² – 2 = 3 > 0.

Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu, hơn nữa mặt cầu có tâm là

 I(−1; 0; 2) và bán kính R = \(\sqrt 3 \).

b) Phương trình có các hệ số a = 1, b = −1, c = −1 và d = 7.

⇒ a² + b² + c² – d = 1² + (−1)² + (−1)² – 7 = −4 < 0.

Do đó, phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

c) Ta có: 3x² + 3y² + 3z² + 12x – 6y + 6z + 2 = 0.

⇔ x² + y² + z² + 4x – 2y + 2z + \(\frac{2}{3}\) = 0.

Phương trình có các hệ số: a = −2, b =1, c = −1 và d = \(\frac{2}{3}\).

⇒ a² + b² + c² – d = (−2)² + 1² + (−1)² − \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{{16}}{3}\) > 0.

Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I(−2; 1; −1) và R = \(\frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

Theo đề bài, tâm I thuộc trục Ox nên I(x; 0; 0).

(S) đi qua hai điểm A và B nên IA = IB.

⇒ (x – 1)² + (0 – 2)² + (0 – 1)² = (x + 1)² + (0 + 2)² + (0 – 3)²

⇒ x² – 2x + 6 = x² + 2x + 14

⇔ x = −2.

Do đó, tâm I(−2; 0; 0) và bán kính IA = \(\sqrt {14} \).

Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x + 2)² + y² + z² = 14.

Đường hầm thuộc đường thẳng d đi qua A\(\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow v \) = (2; 2; −3) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2} + 2t\\y = \frac{1}{2} + 2t\\z = \frac{1}{{\sqrt 2 }} - 3t\end{array} \right.\).

Gọi B là điểm cuối cùng của đường hầm cần đào.

Khi đó, B là giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt cầu (S). Tọa độ B có dạng

B\(\left( {\frac{1}{2} + 2t;\frac{1}{2} + 2t;\frac{1}{{\sqrt 2 }} - 3t} \right)\) (với t ≠ 0 để B khác A) và thỏa mãn phương trình mặt cầu (S), tức là: \({\left( {\frac{1}{2} + 2t} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2} + 2t} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - 3t} \right)^2} = 1\)

⇔ 17t² + (2 −3\(\sqrt 2 \))t = 0 ⇒ t = \(\frac{{3\sqrt 2 - 2}}{{17}}\).

Suy ra AB = \(\sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( { - 3t} \right)}^2}} = \left| t \right|\sqrt {17} = \frac{{3\sqrt 2 - 2}}{{\sqrt {17} }}\).