Ta có $y^{'} = \frac{{(x^{2} + 3)}^{'} \cdot (x - 1) - {(x - 1)}^{'} (x^{2} + 3)}{{(x - 1)}^{2}}$ $= \frac{2 x (x - 1) - (x^{2} + 3)}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x - 3}{{(x - 1)}^{2}}$ .

y' = 0 ⇔ x = 3 (do x ∈ [2; 4]).

y(2) = 7; y(3) = 6; y(4) = $\frac{19}{3}$ .

Do đó, M = $\max_{[2; 4]} y = y (2) = 7$ .

Câu 3/37

Tổng số các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Tập xác định của hàm số là D = (– ∞; – 1] ∪ [1; + ∞).

Ta có:

$\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} = \lim_{x \to - \infty} (- \sqrt{\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}}) = \lim_{x \to - \infty} (- \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}) = - 1$ .

Do đó, đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ có hai tiệm cận ngang là y = 1 và y = – 1.

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên.

Câu 4/37

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

A. y = – x³ + 3x² + 1.

B. y = x³ – 3x² + 3.

C. y = – x² + 2x + 1.

D. y = $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Quan sát hình vẽ đã cho, ta thấy đường cong đã cho là đồ thị của hàm số bậc ba với hệ số a > 0. Vậy đường cong trong hình trên là đồ thị của hàm số y = x³ – 3x² + 3.

Câu 5/37

Cho hàm số f(x) = x² + 3. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. $\int f (x) d x = 2 x + C$ .

B. $\int f (x) d x = x^{2} + 3 x + C$ .

C. $\int f (x) d x = x^{3} + 3 x + C$ .

D. $\int f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} + 3 x + C$ .

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\int f (x) d x = \int (x^{2} + 3) d x = \int x^{2} d x + \int 3 d x = \frac{x^{3}}{3} + 3 x + C$ .

Câu 6/37

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(0) = 1 và f'(x) = 2sin x + 1. Khi đó $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ bằng

A. $\frac{π^{2} + 12 π - 16}{8}$ .

B. $\frac{π^{2} - 4 π + 16}{8}$ .

C. $\frac{π^{2} + 6 π - 8}{4}$ .

D. $\frac{π^{2} - 2 π + 8}{4}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int f^{'} (x) d x = \int (2 \sin x + 1) d x = - 2 \cos x + x + C$ .

Suy ra f(x) = – 2cos x + x + C.

Lại có f(0) = 1 nên – 2 cos 0 + 0 + C = 1, suy ra C = 3.

Do đó, f(x) = – 2 cos x + x + 3.

Khi đó, $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (- 2 \cos x + x + 3) = {(- 2 \sin x + \frac{x^{2}}{2} + 3 x)|}_{0}^{\frac{π}{2}}$

$= - 2 \sin \frac{π}{2} + \frac{π^{2}}{8} + \frac{3 π}{2} - (- 2 \sin 0) = - 2 + \frac{π^{2}}{8} + \frac{3 π}{2} = \frac{π^{2} + 12 π - 16}{8}$ .

Câu 7/37

Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = – 1 và x = 4 như hình bên.

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. $S = \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{4} f (x) d x$ .

B. $S = \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{4} f (x) d x$ .

C. $S = - \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{4} f (x) d x$ .

D. $S = - \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{4} f (x) d x$ .

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = – 1 và x = 4 là:

$S = \int_{- 1}^{4} |f (x) - 0| d x = \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{4} f (x) d x$ .

Câu 8/37

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2 \sqrt{x}$ , y = 0, x = 0 và x = 4. Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là

A. V = 32.

B. V = 32π.

C. V = $\frac{32}{3}$ .

D. V = $\frac{32 π}{3}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là: $V = π \int_{0}^{4} {(2 \sqrt{x})}^{2} d x = π \int_{0}^{4} 4 x d x = {π 2 x^{2}|}_{0}^{4} = 32 π$ .