(hình 1.10)

Theo quy tắc ba điểm ta có

· $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Mà $\sin \widehat{ABC}=\frac{AC}{BC}$

$\Rightarrow AC=BC.\sin \widehat{ABC}=a\sqrt{5}.\sin {30}^0=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

Do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

· $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$

Ta có $A{C}^2+A{B}^2=B{C}^2\Rightarrow AB=\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{5a^2-\frac{5a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{15}}{2}$

Vì vậy $\left|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=\frac{a\sqrt{15}}{2}$

 Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$

Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABCD là hình chữ nhật suy ra $AD=BC=a\sqrt{5}$

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD=a\sqrt{5}$

Chọn B

a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$

Áp dụng định lí Pitago ta có $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=2a^2\Rightarrow AC=\sqrt{2}a$

Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=a\sqrt{2}$

+ Vì O là tâm của hình vuông nên  $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO}$ suy ra   $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}$

Vậy $\left|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}\right|=\overrightarrow{\left|BC\right|}=a$

+ Do ABCD là hình vuông nên $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$  suy ra $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}$

Mà $\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=a\sqrt{2}$  suy ra  $\left|\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}\right|=a\sqrt{2}$

Chọn C

b) Theo quy tắc phép trừ ta có $\overrightarrow{u}=\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}\right)+\left(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MD}\right)=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}$

Suy ra $\overrightarrow{u}$   không phụ thuộc vị trí điểm M.

Qua A kẻ đường thẳng song song với  DB cắt BC tại C'.

Khi đó tứ giác ADBC' là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song) suy ra $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AC\text{'}}$

Do đó $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC\text{'}}=\overrightarrow{CC\text{'}}$

Vì vậy $\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{CC\text{'}}\right|=BC+BC\text{'}=a+a=2a$

Chọn A

(Hình 1.45)

Theo quy tắc trừ ta có  $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=BC=a$

Gọi A' là đỉnh của hình bình hành $ABA\text{'}C$  và O là tâm hình bình hành đó. Khi đó ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AA\text{'}}$ .

Ta có $AO=\sqrt{A{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$