Giải SBT Toán 10 Bài 8. Tổng và hiệu của hai vectơ có đáp án

Lời giải

Giả sử ba điểm A, B, C thoả mãn: \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow b = \overrightarrow {BC} \)

Khi đó ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm)

Do đó:

+) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB;\)

+) \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC;\)

+) \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\)

Mặt khác: xét tam giác ABC, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:

AB – BC < AC < AB + BC

Hay \[\left| {\overrightarrow a } \right| - \left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\] \(\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow a } \right| - \left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|.\)

Lời giải

Vì

ABCD là hình bình hành tâm O

Nên O là trung điểm của AC và BD và \(\widehat {ADO} = \widehat {CBO}\)

Xét ∆ODN và ∆OBM có:

OD = OB (do O là trung điểm của BD),

\(\widehat {DON} = \widehat {BOM}\) (hai góc đối đỉnh),

\(\widehat {NDO} = \widehat {MBO}\)(do \(\widehat {ADO} = \widehat {CBO}\))

∆ODN = ∆OBM (g.c.g)

ON = OM (hai cạnh tương ứng)

O là trung điểm của NM.

Vậy O là trung điểm của NM.

Lời giải

Vì

G là trọng tâm ∆BCD nên \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {MB} } \right) + \overrightarrow {GC} + \left( {\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {ND} } \right) = \overrightarrow 0 \) (quy tắc hiệu)

\( \Rightarrow \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 \)

\[ \Rightarrow \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} + \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {ND} } \right) = \overrightarrow 0 \] (*)

Ta có: O là trung điểm của NM (câu a), O là trung điểm của BD (câu a)

BMDN là hình bình hành

\( \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {ND} \) \( \Rightarrow - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {ND} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 \)

Thay vào (*) ta được \[\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \]

Do đó \[\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} = \overrightarrow 0 \]

G là trọng tâm tam giác MNC.

Vậy G là trọng tâm tam giác MNC.

Lời giải

a) Theo quy tắc ba điểm ta có:

\[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} \]

\[ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} \]

\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA} \)

\( = \overrightarrow {{\rm{AA}}} \)

\( = \overrightarrow 0 \)

Vậy \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \]

Lời giải

Theo quy tắc ba điểm ta có:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \)

\( = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)

\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DB} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BB} \)

\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow 0 \)

\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \)

Vậy \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .\]

Lời giải

Ta có: \[\overrightarrow {AF} --\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \]

\( = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CE} \)

\( = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {EA} \) (vì E là trung điểm AC nên \(\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {EA} \))

\( = \left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AF} } \right) + \overrightarrow {DB} \)

\( = \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DB} \)

Vì E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB

Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

EF // BC và \(EF = \frac{1}{2}BC\)

Mà D là trung điểm của BC nên \(BD = \frac{1}{2}BC\)

Xét tứ giác EFBD có: EF // BD, \[{\rm{EF}} = BD\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)\]

EFBD là hình bình hành

\(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {DB} \)

Khi đó: \[\overrightarrow {AF} --\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \]\( = \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DB} \)

\( = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} \)

\( = 2\overrightarrow {DB} \)

\( = \overrightarrow {CB} \) (do D là trung điểm của BC)

Vậy \[\overrightarrow {AF} --\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {CB} .\]