Trên Hình 4.7 biểu diễn ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) cùng tác động vào một vật ở vị trí cân bằng A.

Cho biết \[\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = 30N,\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 40N.\] Tính cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} .\)

Lời giải

Ta sử dụng các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AE} \) lần lượt biểu diễn cho các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) và hợp lực \(\overrightarrow F \) của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) (hình vẽ dưới đây).

Khi đó do \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \) nên tứ giác ABEC là hình bình hành

Lại có góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) bằng 60° nên \(\widehat {BAC} = 60^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ECA} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)

Áp dụng định lí Cosin cho tam giác AEC ta có:

AE² = AC² + EC² – 2.AC.EC.cos\(\widehat {ECA}\)

Hay \(A{E^2} = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} - 2.2\sqrt 3 .2\sqrt 3 .c{\rm{os120}}^\circ \)

AE² = 36

AE = 6

Do đó \(\left| {\overrightarrow F } \right| = 6\,\left( N \right)\)

Vì chất điểm A ở trạng thái cân bằng nên hai lực \(\overrightarrow F \) và \(\overrightarrow {{F_3}} \) ngược hướng và có cường độ bằng nhau

Tức là hai vectơ \(\overrightarrow {AE} \) và \(\overrightarrow {AD} \) là hai vectơ đối nhau

Do đó độ lớn của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow F } \right| = 6\,\left( N \right)\)

Vậy độ lớn của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng 6 N.

Lời giải

Ta có: \[\overrightarrow {AF} --\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \]

\( = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CE} \)

\( = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {EA} \) (vì E là trung điểm AC nên \(\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {EA} \))

\( = \left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AF} } \right) + \overrightarrow {DB} \)

\( = \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DB} \)

Vì E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB

Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

EF // BC và \(EF = \frac{1}{2}BC\)

Mà D là trung điểm của BC nên \(BD = \frac{1}{2}BC\)

Xét tứ giác EFBD có: EF // BD, \[{\rm{EF}} = BD\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)\]

EFBD là hình bình hành

\(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {DB} \)

Khi đó: \[\overrightarrow {AF} --\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \]\( = \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DB} \)

\( = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} \)

\( = 2\overrightarrow {DB} \)

\( = \overrightarrow {CB} \) (do D là trung điểm của BC)

Vậy \[\overrightarrow {AF} --\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {CB} .\]