Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B và C. MO cắt cạnh AD tại N.

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tam giác MNC.

Lời giải

Ta sử dụng các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AE} \) lần lượt biểu diễn cho các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) và hợp lực \(\overrightarrow F \) của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) (hình vẽ dưới đây).

Khi đó do \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \) nên tứ giác ABEC là hình bình hành

Lại có góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) bằng 60° nên \(\widehat {BAC} = 60^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ECA} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)

Áp dụng định lí Cosin cho tam giác AEC ta có:

AE² = AC² + EC² – 2.AC.EC.cos\(\widehat {ECA}\)

Hay \(A{E^2} = {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} - 2.2\sqrt 3 .2\sqrt 3 .c{\rm{os120}}^\circ \)

AE² = 36

AE = 6

Do đó \(\left| {\overrightarrow F } \right| = 6\,\left( N \right)\)

Vì chất điểm A ở trạng thái cân bằng nên hai lực \(\overrightarrow F \) và \(\overrightarrow {{F_3}} \) ngược hướng và có cường độ bằng nhau

Tức là hai vectơ \(\overrightarrow {AE} \) và \(\overrightarrow {AD} \) là hai vectơ đối nhau

Do đó độ lớn của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow F } \right| = 6\,\left( N \right)\)

Vậy độ lớn của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng 6 N.

Lời giải

Ta sử dụng các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AE} \) lần lượt biểu diễn cho các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) và hợp lực \(\overrightarrow F \) của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) (hình vẽ dưới đây).

Khi

đó do \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \) nên tứ giác ABEC là hình bình hành

Lại có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) nên ABEC là hình chữ nhật

Khi đó \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {AE} } \right| = AE = \sqrt {A{B^2} + B{E^2}} \) (định lí Pythagoras)

Hay \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}^2}} = \sqrt {{{30}^2} + {{40}^2}} = 50\) (N).

Do vật ở vị trí cân bằng A nên hai lực \(\overrightarrow F \) và \(\overrightarrow {{F_3}} \) ngược hướng và có cường độ bằng nhau

Tức là hai vectơ \(\overrightarrow {AE} \) và \(\overrightarrow {AD} \) là hai vectơ đối nhau

Do đó cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow F } \right| = 50\left( N \right)\)

Vậy cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng 50 N.