Trên mặt phẳng, chất điểm A chịu tác dụng của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) và ở trạng thái cân bằng. Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) bằng 60°. Tính độ lớn của \(\overrightarrow {{F_3}} \), biết \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 2\sqrt 3 N.\)

Lời giải

Ta sử dụng các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AE} \) lần lượt biểu diễn cho các lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) và hợp lực \(\overrightarrow F \) của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) (hình vẽ dưới đây).

Khi

đó do \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} \) nên tứ giác ABEC là hình bình hành

Lại có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) nên ABEC là hình chữ nhật

Khi đó \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \left| {\overrightarrow {AE} } \right| = AE = \sqrt {A{B^2} + B{E^2}} \) (định lí Pythagoras)

Hay \(\left| {\overrightarrow F } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}^2}} = \sqrt {{{30}^2} + {{40}^2}} = 50\) (N).

Do vật ở vị trí cân bằng A nên hai lực \(\overrightarrow F \) và \(\overrightarrow {{F_3}} \) ngược hướng và có cường độ bằng nhau

Tức là hai vectơ \(\overrightarrow {AE} \) và \(\overrightarrow {AD} \) là hai vectơ đối nhau

Do đó cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow F } \right| = 50\left( N \right)\)

Vậy cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) bằng 50 N.

Lời giải

Ta có: \[\overrightarrow {AF} --\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \]

\( = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CE} \)

\( = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {EA} \) (vì E là trung điểm AC nên \(\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {EA} \))

\( = \left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AF} } \right) + \overrightarrow {DB} \)

\( = \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DB} \)

Vì E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB

Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

EF // BC và \(EF = \frac{1}{2}BC\)

Mà D là trung điểm của BC nên \(BD = \frac{1}{2}BC\)

Xét tứ giác EFBD có: EF // BD, \[{\rm{EF}} = BD\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)\]

EFBD là hình bình hành

\(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {DB} \)

Khi đó: \[\overrightarrow {AF} --\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \]\( = \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DB} \)

\( = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} \)

\( = 2\overrightarrow {DB} \)

\( = \overrightarrow {CB} \) (do D là trung điểm của BC)

Vậy \[\overrightarrow {AF} --\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {CB} .\]