Cho hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại S. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB, CD với A, C thuộc (O), $B,D\in \left(O\text{'}\right)$

Chứng minh rằng $AB+CD=AC+BD$

a) Vì AD // EF (cùng vuông góc BC)$\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{DEF}$ (so le trong ) (1)

Ta lại có $\Delta ABD$ có BO vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến (tính chất tiếp tuyến – dây cung) nên $\Delta ABD$ cân tại $B\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{BAD}\left(2\right)$ mà $\widehat{BAD}=\widehat{BFE}$ (so le trong) (3)

Từ (1), (2), (3)$\Rightarrow \widehat{DEF}=\widehat{BFE}\Rightarrow \Delta EBF$ cân tại B

b) $\Delta EBF$ cân tại B $\Rightarrow BH$ đường cao cũng là trung tuyến $\Rightarrow B$ là trung điểm EF $\Rightarrow \Delta E\text{}AF$ vuông tại A, AH đường trung tuyến

$\Rightarrow AH=EH=FH=\frac{EF}{2}\Rightarrow \Delta HAF$ cân tại H

c) Vì $\Delta HAF$ cân tại H$\Rightarrow \widehat{F}=\widehat{HAB}\left(4\right)$ mà $\widehat{F}=\widehat{C}$ (cùng phụ góc E) (5)

$\widehat{C}=\widehat{OAC}(\Delta AOC$ cân ) (6)

Từ (4), (5), (6) $\Rightarrow \widehat{HAB}=\widehat{AOC}$

$\Rightarrow \widehat{HAB}+\widehat{BAO}=\widehat{BAO}+\widehat{OAC}\Rightarrow \widehat{HAO}=\widehat{BAC}={90}^0$

$\Rightarrow AH\perp AO$ và $A\in \left(O\right)\Rightarrow AH$ là tiếp tuyến của (O).

Ta có: $DE\perp BC$ tại K nên K là trung điểm $DE\Rightarrow$Tứ giác BDCE có hai dường chéo BC, DE vuông góc nhau tại trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow BDCE$ là hình thoi

Ta có: $\widehat{DBC}=\widehat{BCE}$ (so le trong ) (1)

$\widehat{BDA}=\widehat{AIC}\left(={90}^0\right)\Rightarrow BA,CA$ là đường kính (2)

Từ (1), (2) suy ra $\Delta BDA$ và $\Delta CIA$ có:

$\widehat{DBC}=\widehat{BDA}=\widehat{BCE}+\widehat{AIC}\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{CAI}$ mà hai góc ở vị trí đối đỉnh và B, K, C thẳng hàng nên D, A, I thẳng hàng

$\Delta DIE$ vuông tại I có IK trung tuyến $\Rightarrow DK=KI\Rightarrow \widehat{KID}=\widehat{KDI}\left(3\right)$

Mà $\widehat{KDI}=\widehat{KCE}$ (cùng phụ $\widehat{KEC})\left(4\right)$

Lại có $\widehat{KCE}=\widehat{O\text{'}IC}$ ($\Delta O\text{'}IC$ cân tại O') (5)

Từ (3), (4), (5)$\Rightarrow \widehat{KID}=\widehat{O\text{'}IC}$

$\Rightarrow \widehat{KID}+\widehat{DIO\text{'}}=\widehat{O\text{'}IC}+\widehat{O\text{'}IA}\Rightarrow \widehat{KIO\text{'}}=\widehat{AIC}={90}^0$

Và $I\in \left(O\text{'}\right)\Rightarrow KI$ là tiếp tuyến của (O')