Cho ∆ABC có $\widehat{A}=120°$. Các đường phân giác xuất phát từ đỉnh B và C cắt nhau tại O. Vẽ tia Bx sao cho BA là tia phân giác của $\widehat{OBx}$. Vẽ tia Cy sao cho CA là tia phân giác của $\widehat{OCy}$. Hai tia Bx và CA cắt nhau tại E, hai tia Cy và BA cắt nhau tại D. Hỏi ∆ODE là tam giác gì?

Đáp án đúng là: C

∆ABC có hai đường phân giác xuất phát từ đỉnh B, C cắt nhau tại O.

Suy ra AO là đường phân giác thứ ba của ∆ABC.

Do đó $\widehat{BAO}=\widehat{OAC}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=\frac{120°}{2}=60°$.

Ta có $\widehat{BAC}+\widehat{BAE}=180°$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat{BAE}=180°-\widehat{BAC}=180°-120°=60°$.

Tương tự ta có $\widehat{CAD}=60°$.

Xét ∆BAE và ∆BAO, có:

BA là cạnh chung.

$\widehat{BAO}=\widehat{BAE}\left(=60°\right)$.

$\widehat{OBA}=\widehat{EBA}$ (do BA là phân giác của $\widehat{OBE}$).

Do đó ∆BAE = ∆BAO (g.c.g).

Suy ra BE = BO (cặp cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta được CD = CO.

Xét ∆BDE và ∆BDO, có:

BD là cạnh chung.

BO = BE (chứng minh trên).

$\widehat{OBD}=\widehat{EBD}$ (do BD là phân giác của $\widehat{OBE}$).

Do đó ∆BDE = ∆BDO (c.g.c).

Suy ra DE = DO (cặp cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta được DE = OE.

Suy ra DE = OE = DO.

Vì vậy ∆ODE đều.

Vậy ta chọn đáp án C.