Cho ∆ABC cân tại A. Gọi H là trực tâm của ∆ABC và $\widehat{BAH}=30°$. Xét hai khẳng định sau:

(I) ∆ABC là tam giác vuông cân;

(II) ∆ABC là tam giác đều.

Chọn câu trả lời đúng.

Đáp án đúng là: D

∆AKC có CH, KE là hai đường cao.

Mà CH cắt KE tại D.

Suy ra D là trực tâm của ∆AKC.

Do đó AD ⊥ KC.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

• ∆ABC có AM là đường trung tuyến.

Suy ra M là trung điểm BC.

Xét ∆ABM và ∆ACM, có:

AM là cạnh chung,

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

BM = CM (do M là trung điểm BC),

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (cặp góc tương ứng).

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù).

Vì vậy $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=180°:2=90°$.

Do đó AM ⊥ BC.

Suy ra AM là đường cao của ∆ABC.

∆ABC có AM, BH là hai đường cao.

Mà AM cắt BH ở K.

Suy ra K là trực tâm của ∆ABC.

Do đó đáp án A đúng.

• Vì K là trực tâm của ∆ABC nên CK ⊥ AB.

Do đó đáp án B đúng.

• ∆ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất tam giác cân)

Mà $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-70°}{2}=55°$

Ta có $\widehat{AKH}=\widehat{ACM}=55°$ (cùng phụ với $\widehat{CAM}$).

Vì K thuộc AM nên ba điểm A, K, M thẳng hàng.

Suy ra $\widehat{AKH}+\widehat{HKM}=180°$ (hai góc kề bù).

Do đó $\widehat{HKM}=180°-\widehat{AKH}=180°-55°=125°$.

Vì vậy đáp án C sai.

Vậy ta chọn đáp án D.