a) Tìm số dư của phép chia đa thức 4x⁴ – 2x² + 7 cho x + 3.

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

$\begin{array}{cccccc}& 2n^2& -& {}^{}n& & \\ \overline{}& 2n^2& +& 2n& & \\ & & -& 3n& & \\ & \overline{}& -& 3n& -& 3\\ & & & & & 3\end{array}\begin{array}{c}n+1\\ 2n-3\\ \\ \\ \end{array}$

Do đó $\frac{2n^2-n}{n+1}=2n-3+\frac{3}{n+1}$ (với n + 1 ≠ 0).

Với n ∈ ℤ để 2n2 – n chia hết cho n + 1 thì 3 ⋮ (n + 1).

Điều này xảy ra khi và chỉ khi (n + 1) ∈ Ư(3) = {–1; 1; –3; 3}.

Ta có bảng sau:

$\begin{array}{ccccc}n+1& -1& 1& -3& 3\\ n& \begin{array}{l}-2\\ \left(tm\right)\end{array}& \begin{array}{l}0\\ \left(tm\right)\end{array}& \begin{array}{l}-4\\ \left(tm\right)\end{array}& \begin{array}{l}2\\ \left(tm\right)\end{array}\end{array}$

Vậy n ∈ {–4; –2; 0; 3}.

a) (3x³ – 7x² + 4x – 4) : (x – 2)

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

$\begin{array}{c}{}^{}3x^3-7x^2+4x-4\\ \overline{}3x^3-6x^2{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}\\ {}^{}{}^{}{}^{}{}^{}-{}^{}{x}^2+4x-4\\ {}^{}{}^{}{}^{}\overline{}-{}^{}{x}^2+2x^{}{}^{}\\ {{}^{}}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}2x-4\\ {{}^{}}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}\overline{}2x-4\\ {{}^{}}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{{}^{}}^{}{}^{}{}^{}{{}^{}}^{}0\end{array}\begin{array}{c}x-2\\ 3x^2-x+2\\ \\ \\ \\ \\ \end{array}$

Vậy (3x³ – 7x² + 4x – 4) : (x – 2) = 3x² – x + 2.