Câu hỏi:

12/07/2024 1,621

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AD. Vẽ $H E ⊥ A B, H F ⊥ A C$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của HB và HC.

a) Chứng minh rằng: EM // FN // AD

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 11: Hình chữ nhật có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến AD. a) Chứng minh rằng: EM // FN // AD (ảnh 1)

a) Tứ giác AFHE có ba góc vuông nên là hình chữ nhật => OA = OF = OH = OE.

Xét $Δ A B C$ vuông tại A có AD là đường trung tuyến nên AD = DB = DC

$Δ D A C$ cân $\Rightarrow \hat{A_{1}} = \hat{C} .$

Mặt khác, $\hat{C} = \hat{A_{2}}$ (cùng phụ với $\hat{B}$ );

$\hat{A_{2}} = \hat{E_{1}}$ (hai góc ở đáy của tam giác cân)

Suy ra $\hat{A_{1}} = \hat{E_{1}} .$

Gọi K là giao điểm của AD và EF.

Xét $Δ A E F$ vuông tại A có $\hat{E_{1}} + \hat{F_{1}} = 90 ° \Rightarrow \hat{A_{1}} + \hat{F_{1}} = 90 ° \Rightarrow \hat{K} = 90 °$ .

Do đó: $A D ⊥ E F,$ (1)

Ta có: $Δ O E M = Δ O H M (c . c . c) \Rightarrow \hat{O E M} = \hat{O H M} = 90 ° \Rightarrow E M ⊥ E F .$ (2)

Chứng minh tương tự, ta được: $F N ⊥ E F .$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: EM // FN // AD (vì cùng vuông góc với EF).

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Gọi M là trung điểm của BD. Chứng minh rằng tia HM là tia phân giác của góc AHC.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. (ảnh 1)

Vẽ $D E ⊥ B C, D F ⊥ A H .$

$Δ H A B$ và $Δ F D A$ có: $\hat{H} = \hat{F} = 90 °$ ; AB = AD

$\hat{H A B} = \hat{F D A}$ (cùng phụ với $\hat{F A D}$ ).

Do đó $Δ H A B = Δ F D A$ (cạnh huyền-góc nhọn)

=> AH = FD (1)

Tứ giác FDEH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

=> HE = FD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AH = HE

Ta có $A M = E M = \frac{1}{2} B D .$

$Δ A H M = Δ E H M (c . c . c) \Rightarrow \hat{A H M} = \hat{E H M} .$

Do đó tia HM là tia phân giác của góc AHC

Câu 2

Cho hình bình hành ABCD. Biết $A D = \frac{1}{2} A C$ và $\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{D A C}$ . Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD. Biết AD = 1/2AC và góc BAC = 1/2 góc DAC. Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật. (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có OA = OC.

Vì $A D = \frac{1}{2} A C$ nên AD = AO

Vẽ $A H ⊥ O D, O K ⊥ A B .$

Xét $Δ A O D$ cân tại A, AH là đường cao => AH cũng là đường trung tuyến, cũng là đường phân giác.

Do đó $H O = H D$ và $\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}}$ .

Vì $\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{D A C}$ nên $\hat{A_{3}} = \hat{A_{2}} = \hat{A_{1}}$ .

$Δ A O K = Δ A O H$ (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow O K = O H = \frac{1}{2} O D \Rightarrow O K = \frac{1}{2} O B \Rightarrow \hat{B_{1}} = 30 ° .$

Xét $Δ A B H$ vuông tại H có $\hat{B_{1}} = 30 °$ nên $\hat{H A B} = 60 °$ suy ra $\hat{D A B} = 90 °$ .

Hình bình hành ABCD có một góc vuông nên là hình chữ nhật.

Câu 3