Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = 6. Điểm M nằm trong hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: $S=M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2$.

ABCD là hình chữ nhật nên $AC=BD=\sqrt{8^2+6^2}=10.$

Ta đặt $MA=x,MC=y$.

Xét ba điểm M, A, C ta có: $MA+MC\ge AC$ 

do đó $x+y\ge 10\Rightarrow {\left(x+y\right)}^2\ge 100$ hay $x^2+y^2+2xy\ge 100.$                  (1)

Mặt khác, ${\left(x-y\right)}^2\ge 0$ hay $x^2+y^2-2xy\ge 0.$                         (2)

Từ (1) và (2) suy ra $2\left(x^2+y^2\right)\ge 100$

$\Rightarrow x^2+y^2\ge 50.$

Dấu ''='' xảy ra <=> M nằm giữa A và C và MA = MC <=> M là trung điểm của  AC.

Chứng minh tương tự, ta được: $M{B}^2+M{D}^2\ge 50$ dấu ''='' xảy ra <=> M là trung điểm của BD.

Vậy $M{A}^2+M{C}^2+M{B}^2+M{D}^2\ge 100.$

Do đó giá trị nhỏ nhất của tổng S là 100 khi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.