Câu hỏi:

12/07/2024 3,435

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là một giao điểm bất kì trong tam giác. Vẽ $O D ⊥ A B, O E ⊥ B C$ và $O F ⊥ C A$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: $S = O D^{2} + O E^{2} + O F^{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 11: Hình chữ nhật có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là một giao điểm bất kì trong tam giác. Vẽ OD vuông AB, OE vuông CA và OF vuông CA. (ảnh 1)

Vẽ $A H ⊥ B C, O K ⊥ A H .$ .

Tứ giác ADOF và KOEH là hình chữ nhật nên OF = AD và OE = KH.

Xét $Δ A O D$ vuông tại O, ta có

$O D^{2} + A D^{2} = O A^{2} \geq A K^{2} .$

Do đó $O D^{2} + O F^{2} + O E^{2} = O D^{2} + A D^{2} + O E^{2} \geq A K^{2} + K H^{2}$

$\geq \frac{{(A K + K H)}^{2}}{2} = \frac{A H^{2}}{2}$ (không đổi)

Dấu ''='' xảy ra <=> O nằm giữa A và H và AK = KH <=> O là trung điểm của AH

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng S là $\frac{A H^{2}}{2}$ khi O là trung điểm của AH.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Gọi M là trung điểm của BD. Chứng minh rằng tia HM là tia phân giác của góc AHC.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. (ảnh 1)

Vẽ $D E ⊥ B C, D F ⊥ A H .$

$Δ H A B$ và $Δ F D A$ có: $\hat{H} = \hat{F} = 90 °$ ; AB = AD

$\hat{H A B} = \hat{F D A}$ (cùng phụ với $\hat{F A D}$ ).

Do đó $Δ H A B = Δ F D A$ (cạnh huyền-góc nhọn)

=> AH = FD (1)

Tứ giác FDEH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật

=> HE = FD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AH = HE

Ta có $A M = E M = \frac{1}{2} B D .$

$Δ A H M = Δ E H M (c . c . c) \Rightarrow \hat{A H M} = \hat{E H M} .$

Do đó tia HM là tia phân giác của góc AHC

Câu 2

Cho hình bình hành ABCD. Biết $A D = \frac{1}{2} A C$ và $\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{D A C}$ . Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD. Biết AD = 1/2AC và góc BAC = 1/2 góc DAC. Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật. (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có OA = OC.

Vì $A D = \frac{1}{2} A C$ nên AD = AO

Vẽ $A H ⊥ O D, O K ⊥ A B .$

Xét $Δ A O D$ cân tại A, AH là đường cao => AH cũng là đường trung tuyến, cũng là đường phân giác.

Do đó $H O = H D$ và $\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}}$ .

Vì $\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{D A C}$ nên $\hat{A_{3}} = \hat{A_{2}} = \hat{A_{1}}$ .

$Δ A O K = Δ A O H$ (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow O K = O H = \frac{1}{2} O D \Rightarrow O K = \frac{1}{2} O B \Rightarrow \hat{B_{1}} = 30 ° .$

Xét $Δ A B H$ vuông tại H có $\hat{B_{1}} = 30 °$ nên $\hat{H A B} = 60 °$ suy ra $\hat{D A B} = 90 °$ .

Hình bình hành ABCD có một góc vuông nên là hình chữ nhật.

Câu 3

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AD. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Vẽ $M E ⊥ A B, M F ⊥ A C$ . Tính số đo các góc của tam giác DEF.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh huyền BC lấy một điểm M. Vẽ $M D ⊥ A B, M E ⊥ A C$ và $A H ⊥ B C$ . Tính số đo của góc DHE.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = 6. Điểm M nằm trong hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: $S = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = CE. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài DE.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học