Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là một giao điểm bất kì trong tam giác. Vẽ $OD\perp AB,OE\perp BC$ và $OF\perp CA$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: $S=O{D}^2+O{E}^2+O{F}^2$

Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có OA = OC.

Vì $AD=\frac{1}{2}AC$ nên AD = AO

Vẽ $AH\perp OD,OK\perp AB.$

Xét $\Delta AOD$ cân tại A, AH là đường cao => AH cũng là đường trung tuyến, cũng là đường phân giác.

Do đó $HO=HD$ và $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$.

Vì $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{DAC}$ nên $\widehat{A_3}=\widehat{A_2}=\widehat{A_1}$.

$\Delta AOK=\Delta AOH$  (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow OK=OH=\frac{1}{2}OD\Rightarrow OK=\frac{1}{2}OB\Rightarrow \widehat{B_1}=30°.$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại H có $\widehat{B_1}=30°$ nên $\widehat{HAB}=60°$ suy ra $\widehat{DAB}=90°$.

Hình bình hành ABCD có một góc vuông nên là hình chữ nhật.

Tứ giác AEM có ba góc vuông nên là hình chữ nhật => AE = MFF

Tam giác FMC vuông tại $F,\widehat{C}=45°$ nên là tam giác vuông cân => CF = MF. Do đó AE = CF.

Tam giác ABC vuông cân, AD là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác nên $AD=DC=\frac{1}{2}BC;\widehat{EAD}=\widehat{FCD}=45°.$

$\Delta EDA=\Delta FDC\left(c.g.c\right)\Rightarrow DE=DF$ và $\widehat{EDA}=\widehat{FDC}$

Ta có: $\widehat{ADF}+\widehat{FDC}=90°\Rightarrow \widehat{ADF}+\widehat{EDA}=90°$  hay $\widehat{EDF}=90°.$

Do đó $△$DEF vuông cân $\Rightarrow \widehat{E}=\widehat{F}=45°;\widehat{EDF}=90°.$