Tam giác ABC vuông cân, AD là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác nên $A D = D C = \frac{1}{2} B C; \hat{E A D} = \hat{F C D} = 45 ° .$

$Δ E D A = Δ F D C (c . g . c) \Rightarrow D E = D F$ và $\hat{E D A} = \hat{F D C}$

Ta có: $\hat{A D F} + \hat{F D C} = 90 ° \Rightarrow \hat{A D F} + \hat{E D A} = 90 °$ hay $\hat{E D F} = 90 ° .$

Do đó $△$ DEF vuông cân $\Rightarrow \hat{E} = \hat{F} = 45 °; \hat{E D F} = 90 ° .$

Câu 2

Cho hình bình hành ABCD. Biết $A D = \frac{1}{2} A C$ và $\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{D A C}$ . Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD. Biết AD = 1/2AC và góc BAC = 1/2 góc DAC. Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật. (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có OA = OC.

Vì $A D = \frac{1}{2} A C$ nên AD = AO

Vẽ $A H ⊥ O D, O K ⊥ A B .$

Xét $Δ A O D$ cân tại A, AH là đường cao => AH cũng là đường trung tuyến, cũng là đường phân giác.

Do đó $H O = H D$ và $\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}}$ .

Vì $\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{D A C}$ nên $\hat{A_{3}} = \hat{A_{2}} = \hat{A_{1}}$ .

$Δ A O K = Δ A O H$ (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow O K = O H = \frac{1}{2} O D \Rightarrow O K = \frac{1}{2} O B \Rightarrow \hat{B_{1}} = 30 ° .$

Xét $Δ A B H$ vuông tại H có $\hat{B_{1}} = 30 °$ nên $\hat{H A B} = 60 °$ suy ra $\hat{D A B} = 90 °$ .

Hình bình hành ABCD có một góc vuông nên là hình chữ nhật.

Câu 3

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = 6. Điểm M nằm trong hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: $S = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = 6. Điểm M nằm trong hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: .S = MA^2 + MB^2 + MC^2 +MD^2 (ảnh 1)

ABCD là hình chữ nhật nên $A C = B D = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10.$

Ta đặt $M A = x, M C = y$ .

Xét ba điểm M, A, C ta có: $M A + M C \geq A C$

do đó $x + y \geq 10 \Rightarrow {(x + y)}^{2} \geq 100$ hay $x^{2} + y^{2} + 2 x y \geq 100.$ (1)

Mặt khác, ${(x - y)}^{2} \geq 0$ hay $x^{2} + y^{2} - 2 x y \geq 0.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $2 (x^{2} + y^{2}) \geq 100$

$\Rightarrow x^{2} + y^{2} \geq 50.$

Dấu ''='' xảy ra <=> M nằm giữa A và C và MA = MC <=> M là trung điểm của AC.

Chứng minh tương tự, ta được: $M B^{2} + M D^{2} \geq 50$ dấu ''='' xảy ra <=> M là trung điểm của BD.

Vậy $M A^{2} + M C^{2} + M B^{2} + M D^{2} \geq 100.$

Do đó giá trị nhỏ nhất của tổng S là 100 khi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Câu 4

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là một giao điểm bất kì trong tam giác. Vẽ $O D ⊥ A B, O E ⊥ B C$ và $O F ⊥ C A$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: $S = O D^{2} + O E^{2} + O F^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là một giao điểm bất kì trong tam giác. Vẽ OD vuông AB, OE vuông CA và OF vuông CA. (ảnh 1)

Vẽ $A H ⊥ B C, O K ⊥ A H .$ .

Tứ giác ADOF và KOEH là hình chữ nhật nên OF = AD và OE = KH.

Xét $Δ A O D$ vuông tại O, ta có

$O D^{2} + A D^{2} = O A^{2} \geq A K^{2} .$

Do đó $O D^{2} + O F^{2} + O E^{2} = O D^{2} + A D^{2} + O E^{2} \geq A K^{2} + K H^{2}$

$\geq \frac{{(A K + K H)}^{2}}{2} = \frac{A H^{2}}{2}$ (không đổi)

Dấu ''='' xảy ra <=> O nằm giữa A và H và AK = KH <=> O là trung điểm của AH

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng S là $\frac{A H^{2}}{2}$ khi O là trung điểm của AH.

Câu 5

Cho hình chữ nhật ABCD, đường chéo AC = d. Trên các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng: $S = M N^{2} + N P^{2} + P Q^{2} + Q M^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chữ nhật ABCD, đường chéo AC = d. Trên các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q. (ảnh 1)

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên

$\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = \hat{D} = 90 ° .$

Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

$M N^{2} = B M^{2} + B N^{2}; N P^{2} = C N^{2} + C P^{2}; P Q^{2} = D P^{2} + D Q^{2}; Q M^{2} = A Q^{2} + A M^{2} .$

Do đó:

$S = M N^{2} + N P^{2} + P Q^{2} + Q M^{2} = (A M^{2} + B M^{2}) + (B N^{2} + C N^{2}) + (C P^{2} + D P^{2}) + (D Q^{2} + A Q^{2})$

Vận dụng bất đẳng thức $a^{2} + b^{2} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{2}$ (dấu ''='' xảy ra khi a = b), ta được:

$S \geq \frac{{(A M + B M)}^{2}}{2} + \frac{{(B N + C N)}^{2}}{2} + \frac{{(C P + D P)}^{2}}{2} + \frac{{(D Q + A Q)}^{2}}{2} = \frac{A B^{2}}{2} + \frac{B C^{2}}{2} + \frac{C D^{2}}{2} + \frac{A D^{2}}{2} = \frac{2 (A B^{2} + B C^{2})}{2} = A C^{2} = d^{2} .$

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng S là $d^{2}$ khi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh hình chữ nhật.

Câu 6