Tam giác ABC vuông cân, AD là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác nên $A D = D C = \frac{1}{2} B C; \hat{E A D} = \hat{F C D} = 45 ° .$

$Δ E D A = Δ F D C (c . g . c) \Rightarrow D E = D F$ và $\hat{E D A} = \hat{F D C}$

Ta có: $\hat{A D F} + \hat{F D C} = 90 ° \Rightarrow \hat{A D F} + \hat{E D A} = 90 °$ hay $\hat{E D F} = 90 ° .$

Do đó $△$ DEF vuông cân $\Rightarrow \hat{E} = \hat{F} = 45 °; \hat{E D F} = 90 ° .$

Câu 2/13

Cho hình bình hành ABCD. Biết $A D = \frac{1}{2} A C$ và $\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{D A C}$ . Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD. Biết AD = 1/2AC và góc BAC = 1/2 góc DAC. Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật. (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có OA = OC.

Vì $A D = \frac{1}{2} A C$ nên AD = AO

Vẽ $A H ⊥ O D, O K ⊥ A B .$

Xét $Δ A O D$ cân tại A, AH là đường cao => AH cũng là đường trung tuyến, cũng là đường phân giác.

Do đó $H O = H D$ và $\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}}$ .

Vì $\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{D A C}$ nên $\hat{A_{3}} = \hat{A_{2}} = \hat{A_{1}}$ .

$Δ A O K = Δ A O H$ (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow O K = O H = \frac{1}{2} O D \Rightarrow O K = \frac{1}{2} O B \Rightarrow \hat{B_{1}} = 30 ° .$

Xét $Δ A B H$ vuông tại H có $\hat{B_{1}} = 30 °$ nên $\hat{H A B} = 60 °$ suy ra $\hat{D A B} = 90 °$ .

Hình bình hành ABCD có một góc vuông nên là hình chữ nhật.

Câu 3/13

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = 6. Điểm M nằm trong hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: $S = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = 6. Điểm M nằm trong hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: .S = MA^2 + MB^2 + MC^2 +MD^2 (ảnh 1)

ABCD là hình chữ nhật nên $A C = B D = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10.$

Ta đặt $M A = x, M C = y$ .

Xét ba điểm M, A, C ta có: $M A + M C \geq A C$

do đó $x + y \geq 10 \Rightarrow {(x + y)}^{2} \geq 100$ hay $x^{2} + y^{2} + 2 x y \geq 100.$ (1)

Mặt khác, ${(x - y)}^{2} \geq 0$ hay $x^{2} + y^{2} - 2 x y \geq 0.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $2 (x^{2} + y^{2}) \geq 100$

$\Rightarrow x^{2} + y^{2} \geq 50.$

Dấu ''='' xảy ra <=> M nằm giữa A và C và MA = MC <=> M là trung điểm của AC.

Chứng minh tương tự, ta được: $M B^{2} + M D^{2} \geq 50$ dấu ''='' xảy ra <=> M là trung điểm của BD.

Vậy $M A^{2} + M C^{2} + M B^{2} + M D^{2} \geq 100.$

Do đó giá trị nhỏ nhất của tổng S là 100 khi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Câu 4/13

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là một giao điểm bất kì trong tam giác. Vẽ $O D ⊥ A B, O E ⊥ B C$ và $O F ⊥ C A$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: $S = O D^{2} + O E^{2} + O F^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là một giao điểm bất kì trong tam giác. Vẽ OD vuông AB, OE vuông CA và OF vuông CA. (ảnh 1)

Vẽ $A H ⊥ B C, O K ⊥ A H .$ .

Tứ giác ADOF và KOEH là hình chữ nhật nên OF = AD và OE = KH.

Xét $Δ A O D$ vuông tại O, ta có

$O D^{2} + A D^{2} = O A^{2} \geq A K^{2} .$

Do đó $O D^{2} + O F^{2} + O E^{2} = O D^{2} + A D^{2} + O E^{2} \geq A K^{2} + K H^{2}$

$\geq \frac{{(A K + K H)}^{2}}{2} = \frac{A H^{2}}{2}$ (không đổi)

Dấu ''='' xảy ra <=> O nằm giữa A và H và AK = KH <=> O là trung điểm của AH

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng S là $\frac{A H^{2}}{2}$ khi O là trung điểm của AH.

Câu 5/13

Cho hình chữ nhật ABCD, đường chéo AC = d. Trên các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng: $S = M N^{2} + N P^{2} + P Q^{2} + Q M^{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chữ nhật ABCD, đường chéo AC = d. Trên các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q. (ảnh 1)

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên

$\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = \hat{D} = 90 ° .$

Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

$M N^{2} = B M^{2} + B N^{2}; N P^{2} = C N^{2} + C P^{2}; P Q^{2} = D P^{2} + D Q^{2}; Q M^{2} = A Q^{2} + A M^{2} .$

Do đó:

$S = M N^{2} + N P^{2} + P Q^{2} + Q M^{2} = (A M^{2} + B M^{2}) + (B N^{2} + C N^{2}) + (C P^{2} + D P^{2}) + (D Q^{2} + A Q^{2})$

Vận dụng bất đẳng thức $a^{2} + b^{2} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{2}$ (dấu ''='' xảy ra khi a = b), ta được:

$S \geq \frac{{(A M + B M)}^{2}}{2} + \frac{{(B N + C N)}^{2}}{2} + \frac{{(C P + D P)}^{2}}{2} + \frac{{(D Q + A Q)}^{2}}{2} = \frac{A B^{2}}{2} + \frac{B C^{2}}{2} + \frac{C D^{2}}{2} + \frac{A D^{2}}{2} = \frac{2 (A B^{2} + B C^{2})}{2} = A C^{2} = d^{2} .$

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng S là $d^{2}$ khi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh hình chữ nhật.

Câu 6/13

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = CE. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài DE.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = CE. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài DE. (ảnh 1)

Vẽ $D H ⊥ B C, E K ⊥ B C$ và $D F ⊥ E K$

Tứ giác DFKH có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

Suy ra DF = HK.

$Δ H B D$ vuông tại H có $\hat{B} = 60 °$ nên $\hat{D_{1}} = 30 ° \Rightarrow B H = \frac{1}{2} B D .$

$Δ K C E$ vuông tại K có $\hat{C} = 60 °$ nên ${\hat{E}}_{1} = 30 ° \Rightarrow C K = \frac{1}{2} C E = \frac{1}{2} A D .$

Ta có: $D E \geq D F = H K = B C - (B H + K C) = B C - (\frac{1}{2} B D + \frac{1}{2} A D) = B C - \frac{1}{2} A B = \frac{a}{2} .$

Vậy giá trị nhỏ nhất của DE là $\frac{a}{2}$ khi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Câu 7/13