Câu hỏi:

19/08/2025 2,612 Lưu

Cho hình chữ nhật ABCD, đường chéo AC = d. Trên các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng: S=MN2+NP2+PQ2+QM2

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack
Cho hình chữ nhật ABCD, đường chéo AC = d. Trên các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q.  (ảnh 1)

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên

A^=B^=C^=D^=90°.

Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

MN2=BM2+BN2;NP2=CN2+CP2;PQ2=DP2+DQ2;QM2=AQ2+AM2.

Do đó:

S=MN2+NP2+PQ2+QM2=AM2+BM2+BN2+CN2+CP2+DP2+DQ2+AQ2

Vận dụng bất đẳng thức a2+b2a+b22  (dấu ''=''  xảy ra khi a = b), ta được:

SAM+BM22+BN+CN22+CP+DP22+DQ+AQ22=AB22+BC22+CD22+AD22=2AB2+BC22=AC2=d2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng S là d2 khi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh hình chữ nhật.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD. Biết AD = 1/2AC và góc BAC = 1/2 góc DAC. Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật. (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có OA = OC.

AD=12AC nên AD = AO

Vẽ AHOD,OKAB.

Xét ΔAOD cân tại A, AH là đường cao => AH cũng là đường trung tuyến, cũng là đường phân giác.

Do đó HO=HD và A1^=A2^.

BAC^=12DAC^ nên A3^=A2^=A1^.

ΔAOK=ΔAOH  (cạnh huyền, góc nhọn)

OK=OH=12ODOK=12OBB1^=30°.

Xét ΔABH vuông tại H có B1^=30° nên HAB^=60° suy ra DAB^=90°.

Hình bình hành ABCD có một góc vuông nên là hình chữ nhật.

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AD. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Vẽ ME vuông AB (ảnh 1)

Tứ giác AEM có ba góc vuông nên là hình chữ nhật => AE = MFF

Tam giác FMC vuông tại F,C^=45° nên là tam giác vuông cân => CF = MF. Do đó AE = CF.

Tam giác ABC vuông cân, AD là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác nên AD=DC=12BC;EAD^=FCD^=45°.

ΔEDA=ΔFDCc.g.cDE=DF và EDA^=FDC^

Ta có: ADF^+FDC^=90°ADF^+EDA^=90°  hay EDF^=90°.

Do đó DEF vuông cân E^=F^=45°;EDF^=90°.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP