Câu hỏi:

12/07/2024 2,077

Cho hình chữ nhật ABCD, đường chéo AC = d. Trên các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng: $S = M N^{2} + N P^{2} + P Q^{2} + Q M^{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 8 Chủ đề 11: Hình chữ nhật có đáp án !!

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 110k).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chữ nhật ABCD, đường chéo AC = d. Trên các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q. (ảnh 1)

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên

$\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = \hat{D} = 90 ° .$

Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

$M N^{2} = B M^{2} + B N^{2}; N P^{2} = C N^{2} + C P^{2}; P Q^{2} = D P^{2} + D Q^{2}; Q M^{2} = A Q^{2} + A M^{2} .$

Do đó:

$S = M N^{2} + N P^{2} + P Q^{2} + Q M^{2} = (A M^{2} + B M^{2}) + (B N^{2} + C N^{2}) + (C P^{2} + D P^{2}) + (D Q^{2} + A Q^{2})$

Vận dụng bất đẳng thức $a^{2} + b^{2} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{2}$ (dấu ''='' xảy ra khi a = b), ta được:

$S \geq \frac{{(A M + B M)}^{2}}{2} + \frac{{(B N + C N)}^{2}}{2} + \frac{{(C P + D P)}^{2}}{2} + \frac{{(D Q + A Q)}^{2}}{2} = \frac{A B^{2}}{2} + \frac{B C^{2}}{2} + \frac{C D^{2}}{2} + \frac{A D^{2}}{2} = \frac{2 (A B^{2} + B C^{2})}{2} = A C^{2} = d^{2} .$

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng S là $d^{2}$ khi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh hình chữ nhật.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình bình hành ABCD. Biết $A D = \frac{1}{2} A C$ và $\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{D A C}$ . Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Xem đáp án » 12/07/2024 6,567

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AD. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Vẽ $M E ⊥ A B, M F ⊥ A C$ . Tính số đo các góc của tam giác DEF.

Xem đáp án » 12/07/2024 5,995

Câu 3:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh huyền BC lấy một điểm M. Vẽ $M D ⊥ A B, M E ⊥ A C$ và $A H ⊥ B C$ . Tính số đo của góc DHE.

Xem đáp án » 12/07/2024 5,703

Câu 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Gọi M là trung điểm của BD. Chứng minh rằng tia HM là tia phân giác của góc AHC.

Xem đáp án » 12/07/2024 5,561

Câu 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là một giao điểm bất kì trong tam giác. Vẽ $O D ⊥ A B, O E ⊥ B C$ và $O F ⊥ C A$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: $S = O D^{2} + O E^{2} + O F^{2}$

Xem đáp án » 12/07/2024 2,657

Câu 6:

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = 6. Điểm M nằm trong hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: $S = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 2,604

Câu 7:

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = CE. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài DE.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,536

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho hình chữ nhật ABCD, đường chéo AC = d. Trên các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng: S=MN2+NP2+PQ2+QM2

Nhà sách VIETJACK:

Cho hình bình hành ABCD. Biết AD=12AC và BAC^=12DAC^. Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AD. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Vẽ ME⊥AB,MF⊥AC. Tính số đo các góc của tam giác DEF.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh huyền BC lấy một điểm M. Vẽ MD⊥AB,ME⊥ACvà AH⊥BC. Tính số đo của góc DHE.

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Gọi M là trung điểm của BD. Chứng minh rằng tia HM là tia phân giác của góc AHC.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là một giao điểm bất kì trong tam giác. Vẽ OD⊥AB,OE⊥BC và OF⊥CA. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: S=OD2+OE2+OF2

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = 6. Điểm M nằm trong hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: S=MA2+MB2+MC2+MD2.

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = CE. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài DE.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chữ nhật ABCD, đường chéo AC = d. Trên các cạnh AB, BC, CD và DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng: $S = M N^{2} + N P^{2} + P Q^{2} + Q M^{2}$

Cho hình bình hành ABCD. Biết $A D = \frac{1}{2} A C$ và $\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{D A C}$ . Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AD. Gọi M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Vẽ $M E ⊥ A B, M F ⊥ A C$ . Tính số đo các góc của tam giác DEF.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh huyền BC lấy một điểm M. Vẽ $M D ⊥ A B, M E ⊥ A C$ và $A H ⊥ B C$ . Tính số đo của góc DHE.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là một giao điểm bất kì trong tam giác. Vẽ $O D ⊥ A B, O E ⊥ B C$ và $O F ⊥ C A$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: $S = O D^{2} + O E^{2} + O F^{2}$

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = 6. Điểm M nằm trong hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: $S = M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} + M D^{2}$ .