Dạng 3: Vận dụng định lý thuận và định lý đảo của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có đáp án

a) Ta có $\Delta BHA$ vuông tại H (gt) => IH = IA = IB ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB)

$\Rightarrow \Delta IAH$ cân tại I $\Rightarrow \widehat{IHA}=\widehat{IAH}$ ( hai góc ở đáy bằng nhau)(1)

Tương tự $\widehat{KHA}=\widehat{HAK}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{IHA}+\widehat{KHA}=\widehat{IAH}+\widehat{HAK}={90}^o$ (gt)

Vậy $\widehat{IHK}={90}^o$.

b)  Ta có:

$HI=\frac{AB}{2}$ ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông AHB) (3)

$IK=\frac{AC}{2}$ ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông AHC) (4)

$IK=\frac{AC}{2}$ ( đường trung bình của tam giác ABC) (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra: $P_{IHK}=IH+HK+IK=\frac{AB}{2}+\frac{AC}{2}+\frac{BC}{2}=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{P_{ABC}}{2}$.

Vậy chu vi $\Delta IHK$ bằng nửa chu vi $\Delta ABC.$

a) Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\widehat{AQB}={90}^o\\ \widehat{MAQ}={90}^o\\ \widehat{MBQ}={90}^o\end{array}\right.\Rightarrow AMBQ$ là hình chữ nhật.

b) Ta có: $\left\{\begin{array}{l}AI\perp BC\left(gt\right)\\ BQ\perp AC\left(gt\right)\end{array}\right.\Rightarrow H$ là trực tâm của $\Delta ABC$ (vì H là giao điểm của hai đường cao)

Suy ra $CH\perp AB$.

c) Ta có:

$PQ=\frac{AB}{2}$ ( vì PQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ABQ )

$PI=\frac{AB}{2}$  ( vì PQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông AIB )

Từ (1) và (2) suy ra PQ = PI => $△PIQ$ cân tại P.