Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BN và CP cắt nhau tại G. AG cắt BC tại M. Kết luận nào dưới đây sai?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC; $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất)

BN là trung tuyến nên AN = NC = $\frac{1}{2}AC$

CP là trung tuyến nên AP = BP = $\frac{1}{2}AB$ 

Do đó: AN = NC = AP = BP

Xét ∆BNC và ∆CPB có

NC = PB (chứng minh trên)

$\widehat{NCB}=\widehat{PBC}$

BC là cạnh chung

Suy ra ∆BNC = ∆CPB (c.g.c)

Do đó BN = CP (2 cạnh tương ứng)

BN và CP cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC

Do đó $BG=\frac{2}{3}BN; CG=\frac{2}{3}CP$ (tính chất trọng tâm)

Mà BN = CP (chứng minh trên)

Suy ra BG = CG ⇒ Tam giác GBC cân tại G.

AG cắt BC tại M nên M là trung điểm của BC.

Xét ∆ABM và ∆ACM có

AB = AC

BM = CM (vì M là trung điểm của BC)

AM là cạnh chung

Suy ra ∆ABM và ∆ACM (c.c.c)

Do đó $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù)

Nên $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90°$

Suy ra AM ⊥ BC hay AG ⊥ BC

Vậy AM = BN là kết luận sai.