Cho hàm số f(x)=x2+x+1 khi x≥02x−3 khi x<0 . Biết I=∫0π2f(2sinx−1)cosx dx+∫ee2flnxxdx=ab với ab là phân số tối giản. Giá trị của tích a+b bằng A. 305 B. -305 C. 350 D. -350

Chọn B I=∫0π2f(2sinx−1)cosx dx+∫ee2flnxxdx=I1+I2 Đặt t=2sinx−1⇒dt=2cosxdx⇒cosxdx=dt2 . Đổi cận x=0⇒t=−1x=π2⇒t=1 . ⇒I1=12∫−11ftdt=12∫−11fxdx Do f(x)=x2+x+1 khi x≥02x−3 khi x<0 ⇒I=12∫−102x−3dx+∫01x2+x+1dx=−1312. Đặt t=lnx⇒dt=1xdx . Đổi cận x=e⇒t=1x=e2⇒t=2. ⇒I2=∫12ftdt=∫12fxdx Do f(x)=x2+x+1 khi x≥02x−3 khi x<0 ⇒I=∫12x2+x+1dx=296. ⇒I=I1+I2=−37772⇒a=−377, b=72 Vậy a+b=−305

Câu hỏi:

17/12/2022 5,678

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + x + 1 & khi x \geq 0 \\ 2 x - 3 & khi x < 0 \end{cases}$ . Biết $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (2 \sin x - 1) \cos x d x + \int_{e}^{e^{2}} \frac{f (\ln x)}{x} d x = \frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của tích a+b bằng

A. 305

B. -305

C. 350

D. -350

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 38 câu Trắc nghiệm Toán 12 Tích phân hàm ẩn có đáp án (Mới nhất) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn B

$I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (2 \sin x - 1) \cos x d x + \int_{e}^{e^{2}} \frac{f (\ln x)}{x} d x = I_{1} + I_{2}$

Đặt $t = 2 \sin x - 1 \Rightarrow d t = 2 \cos x d x \Rightarrow \cos x d x = \frac{d t}{2}$ . Đổi cận $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = - 1 \\ x = \frac{π}{2} \Rightarrow t = 1 \end{cases}$ .

$\Rightarrow I_{1} = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} f (t) d t = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} f (x) d x$

Do $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + x + 1 & khi x \geq 0 \\ 2 x - 3 & khi x < 0 \end{cases}$

$\Rightarrow I = \frac{1}{2} (\int_{- 1}^{0} (2 x - 3) d x + \int_{0}^{1} (x^{2} + x + 1) d x) = - \frac{13}{12}$ .

Đặt $t = \ln x \Rightarrow d t = \frac{1}{x} d x$ . Đổi cận $\{\begin{cases} x = e \Rightarrow t = 1 \\ x = e^{2} \Rightarrow t = 2 \end{cases}$ .

$\Rightarrow I_{2} = \int_{1}^{2} f (t) d t = \int_{1}^{2} f (x) d x$

Do $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + x + 1 & khi x \geq 0 \\ 2 x - 3 & khi x < 0 \end{cases}$

$\Rightarrow I = \int_{1}^{2} (x^{2} + x + 1) d x = \frac{29}{6}$ .

$\Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = - \frac{377}{72} \Rightarrow a = - 377, b = 72$

Vậy $a + b = - 305$

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 2 x + 3 & khi x \geq 2 \\ x + 1 & khi x < 2 \end{cases}$ . Khi đó $I = \int_{0}^{1} f (3 - 2 x) d x$ bằng

A. $\frac{41}{2}$

B. 21

C. $\frac{41}{12}$

D. $\frac{41}{21}$

Lời giải

Chọn C

Đặt $t = 3 - 2 x \Rightarrow d t = - 2 d x \Rightarrow d x = - \frac{1}{2} d t$ . Đổi cận $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 3 \\ x = 1 \Rightarrow t = 1 \end{cases}$ .

Do $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 2 x + 3 & khi x \geq 2 \\ x + 1 & khi x < 2 \end{cases}$

\Rightarrow I = \frac{1}{2} (\int_{1}^{2} (x + 1) d x + \int_{2}^{3} (x^{2} - 2 x + 3) d x) = \frac{41}{12}

Câu 2

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} 2 x - 1 khi x \geq 1 \\ x^{2} khi x < 1 \end{cases}$ . Tính tích phân $\int_{1}^{13} f (\sqrt{x + 3} - 2) d x$ .

A. $- \frac{231}{5}$

B. $\frac{97}{6}$

C. $\frac{16}{3}$

D. $\frac{113}{3}$

Lời giải

Chọn B

Xét $I = \int_{1}^{13} f (\sqrt{x + 3} - 2) d x$

Đặt $\sqrt{x + 3} - 2 = t \Rightarrow \sqrt{x + 3} = t + 2 \Rightarrow x + 3 = {(t + 2)}^{2} \Rightarrow d x = 2 (t + 2) d t$

Với $x = 1 \Leftrightarrow t = 0$

$x = 13 \Leftrightarrow t = 2$

$\Rightarrow I = 2 \int_{0}^{2} (t + 2) f (t) d t = 2 \int_{0}^{2} (x + 2) f (x) d x = 2 \int_{0}^{1} (x + 2) f (x) d x + 2 \int_{1}^{2} (x + 2) f (x) d x$

$= 2 \int_{0}^{1} (x + 2) x^{2} d x + 2 \int_{1}^{2} (2 x - 1) (x + 2) d x = \frac{97}{6} .$

Câu 3

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{x} & k h i x \geq 1 \\ x + 1 & k h i x < 1 \end{cases}$ . Tích phân $\int_{- 2}^{1} f (\sqrt[3]{1 - x}) d x = \frac{m}{n}$ ( $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản), khi đó $m - 2 n$ bằng:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên R và $\int_{0}^{1} f (x) d x = 4$ , $\int_{0}^{3} f (x) d x = 6$ . Tính $I = \int_{- 1}^{1} f (|2 x + 1|) d x$

A. $I = 3$

B. I=5

C. I=6

D. I=4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn $f (x^{3} + 3 x + 1) = 3 x + 2$ , với mọi $x \in ℝ$ .Tích phân $\int_{1}^{5} x f^{'} (x) d x$ bằng

A. $- \frac{31}{4}$

B. $\frac{17}{4}$

C. $\frac{33}{4}$

D. $\frac{49}{4}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} e^{2 x} & k h i x \geq 0 \\ x^{2} + x + 2 & k h i x < 0 \end{cases}$ . Biết tích phân $\int_{- 1}^{1} f (x) d x = \frac{a}{b} + \frac{e^{2}}{c}$ ( $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị $a + b + c$ bằng

A. 7

B. 8

C. 9

D. 10

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} 2 x^{2} - 1 khi x < 0 \\ x - 1 khi 0 \leq x \leq 2 \\ 5 - 2 x khi x > 2 \end{cases}$ . Tính tích phân $\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} f (2 - 7 \tan x) \frac{1}{\cos^{2} x} d x$ .

A. $\frac{201}{77}$

B. $\frac{34}{103}$

C. $\frac{155}{7}$

D. $\frac{109}{21}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học