Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left(-2020;2020\right]$  để đồ thị hàm số $y=x^3-\left(2m+1\right)x^2+3mx-m$  có hai điểm cực trị nằm khác phía so với trục hoành?

Ta có $y^{\text{'}}=0\iff 3x^2-6mx=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2m\end{array}\right..$

Đồ thị (C) luôn có hai điểm cực trị với mọi m nguyên dương (vì m là số nguyên dương nên phương trình $y^{\text{'}}=0$  luôn có hai nghiệm phân biệt).

Khi đó $A\left(0;4m^2-2\right),B\left(2m;-4m^3+4m^2-2\right)$

$\Rightarrow AB=\sqrt{4m^2+16m^6}=2\left|m\right|\sqrt{4m^4+1}.$

$\left(AB\right):\frac{x-0}{2m-0}=\frac{y-\left(4m^2-2\right)}{-4m^3}\iff 2m^{2}x+y-4m^2+2=0.$

Thế tọa độ C vào phương trình đường thẳng (AB), dễ thấy $C\notin \left(AB\right)$ .

$d\left(C,AB\right)=\frac{\left|2m^2+4-4m^2+2\right|}{\sqrt{4m^4+1}}=\frac{2\left|m^2-3\right|}{\sqrt{4m^4+1}}.$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.d\left(C,AB\right)=4\iff \frac{1}{2}.2\left|m\right|.\sqrt{4m^4+1}.\frac{2\left|m^2-3\right|}{\sqrt{4m^4+1}}=4$

$\iff \left|m\left(m^2-3\right)\right|=2\iff m^6-6m^4+9m^2-4=0$

$\iff {\left(m^2-1\right)}^2\left(m^2-4\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}m=\pm 1\\ m=\pm 2\end{array}\right..$

Do m nguyên dương nên ta nhận được $m=1,m=2$. Tổng là 3.

Chọn C.

Hướng dẫn giải

Ta có:$y^{\text{'}}=8x^7+5\left(m-4\right)x^4-4\left(m^2-16\right)x^3$$=x^3\left[8x^4+5\left(m-4\right)x-4\left(m^2-16\right)\right]=x^3.g\left(x\right)$

·       Với $g\left(x\right)=8x^4+5\left(m-4\right)x-4\left(m^2-16\right)$. Ta xét các trường hợp sau:

-        Nếu $m^2-16=0\iff m=\pm 4$ .

+ Khi $m=4$  ta có $y^{\text{'}}=8x^7\Rightarrow x=0$  là điểm cực tiểu.

+ Khi $m=-4$  ta có $y^{\text{'}}=x^4\left(8x^3-40\right)\Rightarrow x=0$  không là điểm cực tiểu.

-        Nếu $m^2-16\ne 0\iff m\ne \pm 4\Rightarrow g\left(0\right)\ne 0$ .

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=0$

 Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm $x=0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }g\left(x\right)>0\\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }g\left(x\right)>0\end{array}\right.\iff \underset{x\to 0}{\lim }g\left(x\right)>0$

$\iff -4\left(m^2-16\right)>0\iff m^2-16<0\iff -4<m<4\Rightarrow m\in \left\{-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}$.

Tổng hợp các trường hợp ta có: $m\in \left\{-3;-2;-1;0;1;2;3;4\right\}$ .

Vậy có tám giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.

Chọn A.