Cho hàm số $y=x^3-3m{x}^2+4m^2-2$ có đồ thị (C) và điểm $C\left(1;4\right)$ . Tổng các giá trị nguyên dương của m để (C) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4 là

Hướng dẫn giải

Ta có:$y^{\text{'}}=8x^7+5\left(m-4\right)x^4-4\left(m^2-16\right)x^3$$=x^3\left[8x^4+5\left(m-4\right)x-4\left(m^2-16\right)\right]=x^3.g\left(x\right)$

·       Với $g\left(x\right)=8x^4+5\left(m-4\right)x-4\left(m^2-16\right)$. Ta xét các trường hợp sau:

-        Nếu $m^2-16=0\iff m=\pm 4$ .

+ Khi $m=4$  ta có $y^{\text{'}}=8x^7\Rightarrow x=0$  là điểm cực tiểu.

+ Khi $m=-4$  ta có $y^{\text{'}}=x^4\left(8x^3-40\right)\Rightarrow x=0$  không là điểm cực tiểu.

-        Nếu $m^2-16\ne 0\iff m\ne \pm 4\Rightarrow g\left(0\right)\ne 0$ .

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x=0$

 Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm $x=0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }g\left(x\right)>0\\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }g\left(x\right)>0\end{array}\right.\iff \underset{x\to 0}{\lim }g\left(x\right)>0$

$\iff -4\left(m^2-16\right)>0\iff m^2-16<0\iff -4<m<4\Rightarrow m\in \left\{-3;-2;-1;0;1;2;3\right\}$.

Tổng hợp các trường hợp ta có: $m\in \left\{-3;-2;-1;0;1;2;3;4\right\}$ .

Vậy có tám giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.

Chọn A.

Đường thẳng qua hai cực trị là $\left(AB\right):y=\left(\frac{2}{3}b-\frac{2a^2}{9}\right)x+c-\frac{ab}{9}.$

Do (AB) qua gốc O nên $c-\frac{ab}{9}=0\iff ab=9c.$

Khi đó $P=abc+ab+c=9c^2+10c={\left(3c+\frac{5}{3}\right)}^2-\frac{25}{9}\ge -\frac{25}{9},\forall c\in ℝ.$

Vậy $P_{\min }=-\frac{25}{9}$ khi $\left\{\begin{array}{l}c=-\frac{5}{9}\\ ab=-5\end{array}\right..$

Chọn D.