Câu hỏi:

05/01/2023 325

Gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 4 z + 5 = 0$ . Giá trị của biểu thức ${(z_{1} - 1)}^{2019} + {(z_{2} - 1)}^{2019}$ bằng

A. $2^{1009}$

B. $2^{1010}$

C. 0

D. $- 2^{1010}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Phương trình bậc hai với hệ số thực có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn D

Xét phương trình $z^{2} - 4 z + 5 = 0 \Leftrightarrow {(z - 2)}^{2} = - 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z_{1} = 2 + i \\ z_{2} = 2 - i \end{array}$

Khi đó ta có:

{(z_{1} - 1)}^{2019} + {(z_{2} - 1)}^{2019} = {(1 + i)}^{2019} + {(1 - i)}^{2019} = (1 + i) . {({(1 + i)}^{2})}^{1009} + (1 - i) . {({(1 - i)}^{2})}^{1009} = (1 + i) . {(2 i)}^{1009} + (1 - i) . {(- 2 i)}^{1009} = {(2 i)}^{1009} ((1 + i) - (1 - i)) = {(2 i)}^{1010} = {(i^{2})}^{505} {.2}^{1010} = - 2^{1010}

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho số thực a, biết rằng phương trình $z^{4} + a z^{2} + 1 = 0$ có bốn nghiệm z_1,z_2,z_3,z₄thỏa mãn $(z_{1}^{2} + 4) (z_{2}^{2} + 4) (z_{3}^{2} + 4) (z_{4}^{2} + 4) = 441$ . Tìm a

A. $[\begin{array}{l} a = 1 \\ a = - \frac{19}{2} \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = \frac{19}{2} \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = - \frac{19}{2} \end{array}$

D. $[\begin{array}{l} a = 1 \\ a = \frac{19}{2} \end{array}$

Lời giải

Chọn B

Nhận xét: $z^{2} + 4 = z^{2} - {(2 i)}^{2} = (z + 2 i) (z - 2 i)$

Đặt $f (x) = z^{4} + a z^{2} + 1,$ ta có:

$(z_{1}^{2} + 4) (z_{2}^{2} + 4) (z_{3}^{2} + 4) (z_{4}^{2} + 4) = \prod_{k = 1}^{4} (z_{k} + 2 i) . \prod_{k = 1}^{4} (z_{k} - 2 i) = f (- 2 i) . f (2 i) = (16 i^{4} + 4 a i^{2} + 1) (16 i^{4} + 4 a i^{2} + 1) = {(17 - 4 a)}^{2}$

Theo giả thiết, ta có

{(17 - 4 a)}^{2} = 441 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = - 1 \\ a = \frac{19}{2} \end{array}

Câu 2

Phương trình $z^{2} + a z + b = 0 (a, b \in ℝ)$ có nghiệm phức là 3 + 4i. Giá trị của a + b bằng

A. 31

B. 5

C. 19

D. 29

Lời giải

Chọn C

Cách 1: Do z = 3 + 4i là nghiệm của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ nên ta có:

${(3 + 4 i)}^{2} + a (3 + 4 i) + b = 0 \Leftrightarrow (3 a + b - 7) + (4 a + 24) i = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a + b - 7 = 0 \\ 4 a + 24 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 6 \\ b = 25 \end{cases}$

Do đó a + b = 19

Cách 2: Vì $z_{1} = 3 + 4 i$ là nghiệm của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ nên $z_{2} = 3 - 4 i$ cũng là nghiệm của phương trình đã cho

Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có $\{\begin{cases} z_{1} + z_{2} = - a \\ z_{1} . z_{2} = b \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} (3 + 4 i) + (3 - 4 i) = - a \\ (3 + 4 i) (3 - 4 i) = b \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 6 \\ b = 25 \end{cases} \Rightarrow a + b = 19$

Câu 3

Gọi $z_{1}$ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ . Tọa độ điểm biểu diễn số phức $\frac{7 - 4 i}{z_{1}}$ trên mặt phẳng phức là

A. P(3;2)

B. N(1;-2)

C. Q(3;-2)

D. M(1;2)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Gọi z₁, z₂là hai nghiệm của phương trình $2 z^{2} + z + 1 = 0$ . Giá trị của biểu thức $A = {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}$ là

A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tất cả các nghiệm phức của phương trình $z^{2} + 5 = 0$ là

A. $\pm 5$

B. $\pm 5 i$

C. $\pm \sqrt{5} i$

D. $\pm \sqrt{5}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Gọi z_1,z₂là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 4 z + 7 = 0$ . Giá tị của $P = z_{1}^{3} + z_{2}^{3}$ bằng

A. -20

B. 20

C. $14 \sqrt{7}$

D. $28 \sqrt{7}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Gọi $z_{0}$ là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^{2} + 6 z + 34 = 0$ . Giá trị của $|z_{0} + 2 - i|$ là

A. $\sqrt{17}$

B. 17

C. $2 \sqrt{17}$

D. $\sqrt{37}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 4 z + 5 = 0$ . Giá trị của biểu thức ${(z_{1} - 1)}^{2019} + {(z_{2} - 1)}^{2019}$ bằng

Cho số thực a, biết rằng phương trình $z^{4} + a z^{2} + 1 = 0$ có bốn nghiệm z_1,z_2,z_3,z₄thỏa mãn $(z_{1}^{2} + 4) (z_{2}^{2} + 4) (z_{3}^{2} + 4) (z_{4}^{2} + 4) = 441$ . Tìm a

Phương trình $z^{2} + a z + b = 0 (a, b \in ℝ)$ có nghiệm phức là 3 + 4i. Giá trị của a + b bằng

Gọi $z_{1}$ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình $z^{2} - 2 z + 5 = 0$ . Tọa độ điểm biểu diễn số phức $\frac{7 - 4 i}{z_{1}}$ trên mặt phẳng phức là

Gọi z₁, z₂là hai nghiệm của phương trình $2 z^{2} + z + 1 = 0$ . Giá trị của biểu thức $A = {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}$ là

Tất cả các nghiệm phức của phương trình $z^{2} + 5 = 0$ là

Gọi z_1,z₂là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 4 z + 7 = 0$ . Giá tị của $P = z_{1}^{3} + z_{2}^{3}$ bằng

Gọi $z_{0}$ là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $z^{2} + 6 z + 34 = 0$ . Giá trị của $|z_{0} + 2 - i|$ là