Cho tam giác ABC; M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC. Lấy điểm P sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng MP.

a) Hỏi tứ giác AMCP là hình gì? Vì sao?

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB // CD hay AM // DN.

Suy ra ${\widehat{M}}_1={\widehat{D}}_2$ (hai góc so le trong)

Mà ${\widehat{D}}_1={\widehat{D}}_2$ (vì DM là tia phân giác $\widehat{ADC}$).

Do đó ${\widehat{M}}_1={\widehat{D}}_1$ nên tam giác ADM cân tại A.

Chứng minh tương tự, ta có tam giác BCN cân tại C.

Vì ${\widehat{B}}_1={\widehat{B}}_2;{\widehat{D}}_1={\widehat{D}}_2$ (vì DM, BN lần lượt là tia phân giác của $\widehat{ADC};\widehat{ABC}$).

Mà $\widehat{ADC}=\widehat{ABC}$ (vì tứ giác ABCD là hình bình hành).

Do đó ${\widehat{B}}_1={\widehat{B}}_2={\widehat{D}}_1={\widehat{D}}_2$.

Tam giác ADM cân tại A, tam giác BCN cân tại C.

Mà ${\widehat{B}}_1={\widehat{D}}_2$ nên ${\widehat{M}}_1={\widehat{N}}_2$ suy ra ${\widehat{M}}_1={\widehat{N}}_2$.

Tứ giác BMDN có ${\widehat{B}}_1={\widehat{D}}_2 ;{\widehat{M}}_2={\widehat{N}}_1$ nên tứ giác BMDN là hình bình hành.

Suy ra DM // BN hay HE // GF.

Tam giác ADM cân tại A có AH là đường phân giác nên AH cũng là đường cao.

Vì ABCD là hình vuông nên $\widehat{D}=90°$.

Đường thẳng qua M vuông góc với AE cắt BC tại N nên $\widehat{APM}=90°$.

Do đó $\widehat{D}=\widehat{APM}=90°$.

Xét ∆ADM và ∆APM có:

$\widehat{D}=\widehat{APM}=90°$ (chứng minh trên)

Cạnh AM chung

$\widehat{MAD}=\widehat{MAP}$ (vì AM là tia phân giác của $\widehat{DAP}$).

Do đó ∆ADM = ∆APM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra MD = MP (hai cạnh tương ứng).

Ta có MP + PN = MN mà MD = MP (chứng minh trên)

Do đó DM + BN = MN.