Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E.

a) Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB.

b) \(\widehat {DOE} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\).

Lời giải

a) Xét (O) có CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C

Suy ra AC = CM và OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\)

Do đó \(\widehat {AOC} = \widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\)

Xét (O) có DB, DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D

Suy ra BD = DM và OD là tia phân giác của \(\widehat {BOM}\)

Do đó \(\widehat {BOD} = \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\)

Ta có \(\widehat {COD} = \widehat {COM} + \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)

Vậy tam giác COD vuông tại O.

b) Xét tam giác COD vuông tại O có OM ⊥ CD, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: OM² = CM . DM

Mà CM = AC, DM = BD (chứng minh câu a)

Suy ra AC . BD = R².

c) Gọi I là giao điểm của MH và BC, K là giao điểm của MB và AC

Xét (O) có DB, DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại O, suy ra BM ⊥ DO

Mà OC ⊥ DO (chứng minh câu a)

Do đó OC // BM (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tam giác ABK có

O là trung điểm của AB; OC // BM

Suy ra C là trung điểm của AK

Do đó CA = CK

Ta có CA ⊥ AB, MH ⊥ AB nên CA // MH (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Suy ra \(\frac{{MI}}{{CK}} = \frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{IH}}{{AC}}\)

Mà CA = CK, suy ra MI = IH

Do đó I là trung điểm của MH

Vậy BC đi qua trung điểm của đoạn MH.

Lời giải

a) Vì HM ⊥ AB, HN ⊥ AC

Nên \(\widehat {HMA} = \widehat {HNA} = 90^\circ \)

Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat {HMA} + \widehat {HNA} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn đường kính AH

b) Dựng Ax là tiếp tuyến của (O) nên Ax ⊥ AE

Xét (O) có \(\widehat {xAB},\widehat {ACB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp cũng chắn cung AB

Suy ra \(\widehat {xAB} = \widehat {ACB}\)                             (1)

Vì tam giác HNC vuông ở N nên \(\widehat {NHC} + \widehat {NCH} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {NHC} + \widehat {NHA} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AHN} = \widehat {NCH}\)                            (2)

Xét đường tròn đường kính AH có \(\widehat {AMN},\widehat {AHN}\) là hai góc nội tiếp chắn cung AN

Suy ra \(\widehat {AMN} = \widehat {AHN}\)                           (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {xAB} = \widehat {AMN}\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Suy ra Ax // MN

Mà Ax ⊥ AE

Do đó MN ⊥ AE

c) Vì tam giác ACE nội tiếp (O) đường kính AE

Nên tam giác ACE vuông ở C

Hay \(\widehat {AC{\rm{E}}} = 90^\circ \)

Xét tam giác AHC vuông ở H có HN ⊥ AC nên AC . AN = AH² (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét △AIN và △ACE có

\(\widehat {CA{\rm{E}}}\) là góc chung

\(\widehat {AIN} = \widehat {AC{\rm{E}}}\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó  (g.g)

Suy ra \(\frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{A{\rm{E}}}}\)

Do đó AI . AE = AC . AN = AH²

Vì tam giác AKE nội tiếp (O) đường kính AE

Nên tam giác AKE vuông ở K

Lại có KI ⊥ AE

Nên AK² = AI . AE (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà AI . AE = AH² (chứng minh trên)

Suy ra AH = AK

Vậy AH = AK.