Có 4 bao tải gạo, bao thứ hai nặng gấp đôi bao thứ nhất, bao thứ ba nặng hơn bao thứ hai 12,5 kg, bao thứ tư ít hơn bao thứ ba 6,3 kg. Biết rằng cả 4 bao có tất cả 53,7 kg gạo. Hỏi bao thứ ba có bao nhiêu kg gạo?

Lời giải

a) Xét (O) có CA, CM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C

Suy ra AC = CM và OC là tia phân giác của \(\widehat {AOM}\)

Do đó \(\widehat {AOC} = \widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\)

Xét (O) có DB, DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D

Suy ra BD = DM và OD là tia phân giác của \(\widehat {BOM}\)

Do đó \(\widehat {BOD} = \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\)

Ta có \(\widehat {COD} = \widehat {COM} + \widehat {DOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)

Vậy tam giác COD vuông tại O.

b) Xét tam giác COD vuông tại O có OM ⊥ CD, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: OM² = CM . DM

Mà CM = AC, DM = BD (chứng minh câu a)

Suy ra AC . BD = R².

c) Gọi I là giao điểm của MH và BC, K là giao điểm của MB và AC

Xét (O) có DB, DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại O, suy ra BM ⊥ DO

Mà OC ⊥ DO (chứng minh câu a)

Do đó OC // BM (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tam giác ABK có

O là trung điểm của AB; OC // BM

Suy ra C là trung điểm của AK

Do đó CA = CK

Ta có CA ⊥ AB, MH ⊥ AB nên CA // MH (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Suy ra \(\frac{{MI}}{{CK}} = \frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{IH}}{{AC}}\)

Mà CA = CK, suy ra MI = IH

Do đó I là trung điểm của MH

Vậy BC đi qua trung điểm của đoạn MH.

Lời giải

a) Vì HM ⊥ AB, HN ⊥ AC

Nên \(\widehat {HMA} = \widehat {HNA} = 90^\circ \)

Xét tứ giác AMHN có

\(\widehat {HMA} + \widehat {HNA} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn đường kính AH

b) Dựng Ax là tiếp tuyến của (O) nên Ax ⊥ AE

Xét (O) có \(\widehat {xAB},\widehat {ACB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp cũng chắn cung AB

Suy ra \(\widehat {xAB} = \widehat {ACB}\)                             (1)

Vì tam giác HNC vuông ở N nên \(\widehat {NHC} + \widehat {NCH} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Mà \(\widehat {NHC} + \widehat {NHA} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {AHN} = \widehat {NCH}\)                            (2)

Xét đường tròn đường kính AH có \(\widehat {AMN},\widehat {AHN}\) là hai góc nội tiếp chắn cung AN

Suy ra \(\widehat {AMN} = \widehat {AHN}\)                           (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {xAB} = \widehat {AMN}\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Suy ra Ax // MN

Mà Ax ⊥ AE

Do đó MN ⊥ AE

c) Vì tam giác ACE nội tiếp (O) đường kính AE

Nên tam giác ACE vuông ở C

Hay \(\widehat {AC{\rm{E}}} = 90^\circ \)

Xét tam giác AHC vuông ở H có HN ⊥ AC nên AC . AN = AH² (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét △AIN và △ACE có

\(\widehat {CA{\rm{E}}}\) là góc chung

\(\widehat {AIN} = \widehat {AC{\rm{E}}}\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó  (g.g)

Suy ra \(\frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{A{\rm{E}}}}\)

Do đó AI . AE = AC . AN = AH²

Vì tam giác AKE nội tiếp (O) đường kính AE

Nên tam giác AKE vuông ở K

Lại có KI ⊥ AE

Nên AK² = AI . AE (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà AI . AE = AH² (chứng minh trên)

Suy ra AH = AK

Vậy AH = AK.