Câu hỏi:

03/07/2023 1,011

Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi H là trung điểm của cạnh BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC, M là trung điểm của đoạn HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi H là trung điểm của cạnh BC, D là hình chiếu (ảnh 1)

Ta chứng minh: \(\overrightarrow {AM} \,.\,\overrightarrow {DB} = 0\)

Ta có: \[\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} = \overrightarrow {HC} + \overrightarrow {HD} \]

\(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} } \right)\)

Do đó: \(\overrightarrow {AM} \,.\,\overrightarrow {DB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {HC} + \overrightarrow {HD} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {HC} + \overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} \,.\,\overrightarrow {HC} + \overrightarrow {AD} \,.\,\overrightarrow {HD} } \right)\)

Mà: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {HC} = 0\;\left( {do\;AH \bot BC} \right)\\\overrightarrow {AD} \,.\,\overrightarrow {HD} = 0\;\left( {do\;AC \bot HD} \right)\end{array} \right.\)

Do đó: \(\overrightarrow {AM} \,.\,\overrightarrow {DB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} \,.\,\overrightarrow {HC} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {HD} + \left( {\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HD} } \right)\,.\,\overrightarrow {HC} } \right]\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {HD} + \overrightarrow {HD} \,.\,\overrightarrow {HC} } \right)\)vì\(\overrightarrow {AH} \,.\,\overrightarrow {HC} = 0\)

\(\overrightarrow {AM} \,.\,\overrightarrow {DB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \left( {\overrightarrow {AH} + \,\overrightarrow {HC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \,.\,\overrightarrow {AC} = 0\) (vì AC ^ HD)

Vậy AM ^ DB.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1,2,3.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số \(\overline {abcde} \;\left( {a \ne b \ne c \ne d \ne e;\;a \ne 0} \right)\)

+) Trường hợp với a là số bất kì kể cả 0

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 5 vị trí và sắp xếp có \(A_5^3\) (cách)

Xếp 2 số trong 7 số còn lại vào 2 vị trí còn lại và sắp xếp có \(A_7^2\) (cách)

Suy ra có \(A_5^3\,.\,A_7^2\) số

+) Trường hợp a = 0

Chọn a có 1 cách

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 4 vị trí và sắp xếp có \(A_4^3\) (cách)

Xếp 1 số còn lại trong 6 số vào 1 vị trí còn lại có \(C_6^1\) (cách)

Suy ra có \(A_4^3\,.\,C_7^1\) (cách)

Vậy có: \(A_5^3\,.\,A_7^2 - A_4^3\,.\,C_7^1 = 2376\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(−4; 1), B(2; 4), C(2; −2).

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD.

c) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành.

Xem đáp án

Lời giải

a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC có tọa độ G(x_G; y_G).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 4 + 2 + 2}}{3} = 0\\{y_G} = \frac{{1 + 4 - 2}}{3} = 1\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G(0; 1).

b) Gỉả sử điểm D có tọa độ là D(x_D; y_D)

Vì C là trọng tâm của tam giác ABD nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 4 + 2 + {x_D}}}{3} = 2\\\frac{{1 + 4 + {y_D}}}{3} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 + 2 + {x_D} = 6\\1 + 4 + {y_D} = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 8\\{y_D} = - 11\end{array} \right.\)

Vậy điểm D có tọa độ là D(8; −11).

c) Gỉả sử điểm D có tọa độ là E(x_E; y_E).

Để tứ giác ABCE là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EC} \)

\[ \Leftrightarrow \left( {2 + 4;\;4 - 1} \right) = \left( {2 - {x_E};\; - 2 - {y_E}} \right)\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - {x_E} = 6\\ - 2 - {y_E} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = - 4\\{y_E} = - 5\end{array} \right.\)

Vậy điểm E có tọa độ là E(−4; −5).

Câu 3