Chứng minh rằng trong một tứ giác, độ dài mỗi cạnh bé hơn tổng độ dài ba cạnh còn lại.

Do AB = BC nên ∆BAC cân tại B, suy ra  ${\widehat{A}}_2={\widehat{C}}_2$

Xét ∆BAC có:  ${\widehat{A}}_2+{\widehat{C}}_2+\widehat{B}=180°$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Do đó  $\widehat{A}={\widehat{C}}_2=\frac{180°-\widehat{B}}{2}=\frac{180°-100°}{2}=40°.$

Do CD = DA, ∆DAC cân tại D, suy ra  ${\widehat{A}}_1={\widehat{C}}_1$

Xét ∆ADC có:  ${\widehat{A}}_1+{\widehat{C}}_1+\widehat{D}=180°$

Do đó  ${\widehat{A}}_1=\widehat{C}=\frac{180°-\widehat{D}}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°.$

Ta có:  $\widehat{A}={\widehat{A}}_1+{\widehat{A}}_2=40°+30°=70°;$

$\widehat{C}={\widehat{C}}_1+{\widehat{C}}_2=40°+30°=70°.$

Vậy tứ giác ABCD có  $\widehat{A}=\widehat{C}=70°.$

Xét tứ giác ABCD. Chu vi tứ giác ABCD là P_ABCD = AB + BC + CD + DA.

a) Trong ∆ABC có AC < AB + BC (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆ACD có AC < CD + DA (bất đẳng thức trong tam giác)

Do đó AC + AC < AB + BC + CD + DA hay 2AC < P_ABCD (1)

Tương tự, trong ∆ABD có BD < AD + AB

Trong ∆BCD có: BD < CD + BC

Do đó BD + BD < AD + AB + CD + BC hay 2BD < P_ABCD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2(AC + BD) < 2P_ABCD, do đó AC + BD < P_ABCD.