a) Góc kề bù với góc tại một đỉnh của tứ giác gọi là một góc ngoài tại đỉnh đó của tứ giác. (Có hai góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác, chúng đối đỉnh nên thường gọi tắt là góc ngoài tại đỉnh đó của tứ giác). Hãy tính tổng bốn góc ngoài tại bốn đỉnh của một tứ giác.

Do AB = BC nên ∆BAC cân tại B, suy ra  ${\widehat{A}}_2={\widehat{C}}_2$

Xét ∆BAC có:  ${\widehat{A}}_2+{\widehat{C}}_2+\widehat{B}=180°$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Do đó  $\widehat{A}={\widehat{C}}_2=\frac{180°-\widehat{B}}{2}=\frac{180°-100°}{2}=40°.$

Do CD = DA, ∆DAC cân tại D, suy ra  ${\widehat{A}}_1={\widehat{C}}_1$

Xét ∆ADC có:  ${\widehat{A}}_1+{\widehat{C}}_1+\widehat{D}=180°$

Do đó  ${\widehat{A}}_1=\widehat{C}=\frac{180°-\widehat{D}}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°.$

Ta có:  $\widehat{A}={\widehat{A}}_1+{\widehat{A}}_2=40°+30°=70°;$

$\widehat{C}={\widehat{C}}_1+{\widehat{C}}_2=40°+30°=70°.$

Vậy tứ giác ABCD có  $\widehat{A}=\widehat{C}=70°.$

– Trước hết cho hai điểm phân biệt P, Q thì với mọi điểm M ta có MP + MQ ≥ PQ và MP + MQ = PQ chỉ khi M thuộc đoạn thẳng PQ.

Thật vậy,

• nếu M không thuộc đường thẳng PQ thì MP + MQ > PQ (bất đẳng thức tam giác) (hình vẽ)

• nếu M thuộc đoạn thẳng PQ thì MP + MQ = PQ (hình vẽ)

• nếu M thuộc đường thẳng PQ nhưng không thuộc đoạn thẳng PQ thì hoặc P nằm giữa M và Q hoặc Q nằm giữa P và M, dễ thấy trong cả hai trường hợp đó, MP + MQ > PQ (hình vẽ).

– Xét điểm M tuỳ ý trong tứ giác ABCD (hình vẽ).

Ta có:

MA + MC ≥ AC và MA + MC = AC khi điểm M nằm trên đoạn thẳng AC.

MB + MD ≥ BD và MB + MD = BD khi điểm M nằm trên đoạn thẳng BD.

Do đó MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD và MA + MB + MC + MD = AC + BD chỉ khi M vừa thuộc đoạn thẳng AC vừa thuộc đoạn thẳng BD tức là M phải trùng với giao điểm O của AC và BD.