Chứng minh tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác:

a) Bé hơn chu vi của tứ giác;

Do AB = BC nên ∆BAC cân tại B, suy ra  ${\widehat{A}}_2={\widehat{C}}_2$

Xét ∆BAC có:  ${\widehat{A}}_2+{\widehat{C}}_2+\widehat{B}=180°$ (định lí tổng ba góc của một tam giác)

Do đó  $\widehat{A}={\widehat{C}}_2=\frac{180°-\widehat{B}}{2}=\frac{180°-100°}{2}=40°.$

Do CD = DA, ∆DAC cân tại D, suy ra  ${\widehat{A}}_1={\widehat{C}}_1$

Xét ∆ADC có:  ${\widehat{A}}_1+{\widehat{C}}_1+\widehat{D}=180°$

Do đó  ${\widehat{A}}_1=\widehat{C}=\frac{180°-\widehat{D}}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°.$

Ta có:  $\widehat{A}={\widehat{A}}_1+{\widehat{A}}_2=40°+30°=70°;$

$\widehat{C}={\widehat{C}}_1+{\widehat{C}}_2=40°+30°=70°.$

Vậy tứ giác ABCD có  $\widehat{A}=\widehat{C}=70°.$

– Trước hết cho hai điểm phân biệt P, Q thì với mọi điểm M ta có MP + MQ ≥ PQ và MP + MQ = PQ chỉ khi M thuộc đoạn thẳng PQ.

Thật vậy,

• nếu M không thuộc đường thẳng PQ thì MP + MQ > PQ (bất đẳng thức tam giác) (hình vẽ)

• nếu M thuộc đoạn thẳng PQ thì MP + MQ = PQ (hình vẽ)

• nếu M thuộc đường thẳng PQ nhưng không thuộc đoạn thẳng PQ thì hoặc P nằm giữa M và Q hoặc Q nằm giữa P và M, dễ thấy trong cả hai trường hợp đó, MP + MQ > PQ (hình vẽ).

– Xét điểm M tuỳ ý trong tứ giác ABCD (hình vẽ).

Ta có:

MA + MC ≥ AC và MA + MC = AC khi điểm M nằm trên đoạn thẳng AC.

MB + MD ≥ BD và MB + MD = BD khi điểm M nằm trên đoạn thẳng BD.

Do đó MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD và MA + MB + MC + MD = AC + BD chỉ khi M vừa thuộc đoạn thẳng AC vừa thuộc đoạn thẳng BD tức là M phải trùng với giao điểm O của AC và BD.