Chứng minh rằng trong hình thang có nhiều nhất hai góc tù.

Trong hình thang ABCD có:

 $\widehat{A}$ và  $\widehat{D}$ là 2 góc bù nhau,  $\widehat{B}$ và  $\widehat{C}$ là 2 góc bù nhau.

Do đó  $\widehat{A}+\widehat{D}=180°$,  $\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

Mà  $\widehat{A}=2\widehat{D}$ nên  $2\widehat{D}+\widehat{D}=180°$, suy ra  $\widehat{D}=60°$. Do đó  $\widehat{A}=2\widehat{D}=2\cdot 60°=120°.$

        $\widehat{B}=\widehat{C}+40°$ nên $\widehat{C}+40°+\widehat{C}=180°$, hay  $2\widehat{C}=140°$, suy ra  $\widehat{C}=70°$

Do đó  $\widehat{B}=\widehat{C}+40°=70°+40°=110°$

Vậy hình thang ABCD có  $\widehat{A}=120°;\widehat{B}=110°;\widehat{C}=70°;\widehat{D}=60°.$

Do CA là tia phân giác của  $\widehat{C}$ nên  $\widehat{BCA}=\widehat{ACD}$

Mà ABCD là hình thang cân nên AB // CD, suy ra  $\widehat{BAC}=\widehat{ACD}$ (hai góc so le trong)

Do đó,  $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}$, suy ra ∆ABC cân tại B.

Đặt  $\widehat{BAC}=\alpha$ thì  $\widehat{C}=2\alpha$.

Vì ABCD là hình thang cân nên  $\widehat{D}=\widehat{C}=2\alpha .$

Tam giác ADC vuông tại A nên  $\widehat{ADC}+\widehat{ACD}=2\alpha +\alpha =90°,$ suy ra  $\alpha =30°,\widehat{D}=60°.$

Lấy điểm M thuộc cạnh huyền DC sao cho DM = AD, mà  $\widehat{D}=60°$ thì AMD là tam giác đều, nên  $\widehat{MAD}=60°$

Khi đó  $\widehat{MAC}=\widehat{CAD}-\widehat{MAD}=90°-60°=30°$

Suy ra  $\widehat{ACM}=\widehat{CAM}=30°$ nên tam giác MAC cân tại M

Do đó AM = MC, mà AM = DM = AD

Nên AM = DM = AD = MC hay DC = 2AD.

Vậy AB = BC = AD, DC = 2AD nên chu vi hình thang bằng

AB + BC + CD + AD = 5AD = 5.2 = 10 cm.