Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB và CD, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên AD, tia CA là tia phân giác của góc C.

Tính chu vi của hình thang đó biết rằng AD = 2 cm.

Trong hình thang ABCD có:

 $\widehat{A}$ và  $\widehat{D}$ là 2 góc bù nhau,  $\widehat{B}$ và  $\widehat{C}$ là 2 góc bù nhau.

Do đó  $\widehat{A}+\widehat{D}=180°$,  $\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

Mà  $\widehat{A}=2\widehat{D}$ nên  $2\widehat{D}+\widehat{D}=180°$, suy ra  $\widehat{D}=60°$. Do đó  $\widehat{A}=2\widehat{D}=2\cdot 60°=120°.$

        $\widehat{B}=\widehat{C}+40°$ nên $\widehat{C}+40°+\widehat{C}=180°$, hay  $2\widehat{C}=140°$, suy ra  $\widehat{C}=70°$

Do đó  $\widehat{B}=\widehat{C}+40°=70°+40°=110°$

Vậy hình thang ABCD có  $\widehat{A}=120°;\widehat{B}=110°;\widehat{C}=70°;\widehat{D}=60°.$

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC, AC = BD,   $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$

Xét ∆ABC và ∆BAD có

BC = AD, AC = BD, cạnh AB chung

Do đó ∆ABC = ∆BAD (c.c.c)

Suy ra  $\widehat{BAC}=\widehat{ABD}$.

Từ đó OAB là tam giác cân tại O, nên OA = OB.

Ta có: OA + OC = AC; OB + OD = BD, mà OA = OB, AC = BD

Suy ra OC = OD.

Do đó O cách đều A và B; O cách đều C và D;

Do AB // CD nên  $\widehat{SAB}=\widehat{SDC}$;  $\widehat{SBA}=\widehat{SCD}$ (các cặp góc ở vị trí đồng vị)

Mà  $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ hay  $\widehat{SDC}=\widehat{SCD}$ suy ra  $\widehat{SAB}=\widehat{SDC}=\widehat{SBA}=\widehat{SCD}$

Suy ra SAB, SCD là các tam giác cân tại đỉnh S nên SA = SB, SC = SD

Do đó S cũng cách đều A và B, cách đều C và D.

Vậy S và O cùng nằm trên đường trung trực của AB, của CD nên đường thẳng SO đi qua trung điểm của AB, CD.