Câu hỏi:
22/08/2024 1,373
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}};\)
b) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}}.\)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}};\)
b) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}}.\)
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}}\)
1. Tập xác định: D = ℝ\{2}.
2. Sự biến thiên
Ta có: y = x – 2 + \(\frac{4}{{x - 2}}\).
Giới hạn tại vô cực:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \).
Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}} = - \infty \).
Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - (x - 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x--2 + \frac{4}{{x - 2}} - (x - 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{{x - 2}} = 0.\)
Do đó, đường thẳng y = x – 2 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ta có: y' =\(\frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
y' = 0 ⇔ \(\frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)= 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4.
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (4; +∞).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2) và (2; 4).
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = −4.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và yCT = 4.
3. Đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −4).
Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm (2; 0).
Hai trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.
Đồ thị hàm số như sau:
b) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}}\)
1. Tập xác định: D = ℝ\{−1}.
2. Sự biến thiên
Ta có: y = 2x + 1 − \(\frac{6}{{x + 1}}\).
Giới hạn tại vô cực:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \).
Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}} = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}} = + \infty \).
Do đó, đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - (2x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2x + 1 - \frac{6}{{x + 1}} - (2x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 6}}{{x + 1}} = 0.\)
Do đó, đường thẳng y = 2x + 1 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ta có: y' =\(\frac{{2{x^2} + 4x + 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 6}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) > 0, với mọi x ≠ −1.
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).
Hàm số không có cực trị.
3. Đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −5).
Đồ thị hàm số cách trục hoành tại điểm \(\left( { - \frac{5}{2};0} \right)\) và (1; 0).
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (−1; −1).
Hai trục đối xứng của đồ thị là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.
Đồ thị hàm số như sau:
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một quần thể cá được nuôi trong một hồ nhân tạo lúc ban đầu ó 80 000 con. Sau t năm, số lượng quần thể cá nói trên được xác định bởi
N(t) = \(\frac{{20\left( {4 + 3t} \right)}}{{1 + 0,05t}}\) (nghìn con).
a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = N(t).
b) Số lượng tối đa có thể có của quần thể cá là bao nhiêu?
Một quần thể cá được nuôi trong một hồ nhân tạo lúc ban đầu ó 80 000 con. Sau t năm, số lượng quần thể cá nói trên được xác định bởi
N(t) = \(\frac{{20\left( {4 + 3t} \right)}}{{1 + 0,05t}}\) (nghìn con).
a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = N(t).
b) Số lượng tối đa có thể có của quần thể cá là bao nhiêu?
Xem đáp án »
22/08/2024
7,968
Câu 2:
Giả sử chi phí để sản xuất x sản phẩm của một nhà máy được cho bởi C(x) = 0,2x2 + 10x + 5(triệu đồng). Khi đó, chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là \[f\left( x \right) = \frac{{C(x)}}{x}.\]
a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x).
b) Số lượng sản phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để chi phí trung bình là thấp nhất?
Giả sử chi phí để sản xuất x sản phẩm của một nhà máy được cho bởi C(x) = 0,2x2 + 10x + 5(triệu đồng). Khi đó, chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là \[f\left( x \right) = \frac{{C(x)}}{x}.\]
a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x).
b) Số lượng sản phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để chi phí trung bình là thấp nhất?
Xem đáp án »
22/08/2024
5,628
Câu 3:
Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích 300 cm2, lề trái và lề phải là 2 cm, lề trên và lề dưới là 3 cm. Gọi x (cm) là chiều rộng của tờ giấy.
a) Tính diện tích của tờ giấy theo x.
b) Kí hiệu diện tích tờ giấy là S(x). Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = S(x).
c) Tìm kích thước của tờ giấy sao cho nguyên liệu giấy được sử dụng là ít nhất.
Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích 300 cm2, lề trái và lề phải là 2 cm, lề trên và lề dưới là 3 cm. Gọi x (cm) là chiều rộng của tờ giấy.
a) Tính diện tích của tờ giấy theo x.
b) Kí hiệu diện tích tờ giấy là S(x). Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = S(x).
c) Tìm kích thước của tờ giấy sao cho nguyên liệu giấy được sử dụng là ít nhất.
Xem đáp án »
22/08/2024
3,147
Câu 4:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) xác định trên ℝ và f'(x) có đồ thị như hình vẽ sau:
Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số y = f(x).
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) xác định trên ℝ và f'(x) có đồ thị như hình vẽ sau:
Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số y = f(x).
Xem đáp án »
22/08/2024
2,814
Câu 5:
Cho điểm A(3;2 ) trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua A cắt trục hoành tại B, cắt trục tung tại C tạo thành một tam giác OBC nằm trong góc phần tư thứ nhấ, với O là gốc tọa độ.
a) Biết hoành độ điểm B là x = t với t > 3. Tính diện tích tam giác OBC theo t. Kí hiệu diện tích này là S(t).
b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số S(t).
c) Tìm vị trí điểm B để diện tích tam giác OBC là nhỏ nhất.
Cho điểm A(3;2 ) trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua A cắt trục hoành tại B, cắt trục tung tại C tạo thành một tam giác OBC nằm trong góc phần tư thứ nhấ, với O là gốc tọa độ.
a) Biết hoành độ điểm B là x = t với t > 3. Tính diện tích tam giác OBC theo t. Kí hiệu diện tích này là S(t).
b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số S(t).
c) Tìm vị trí điểm B để diện tích tam giác OBC là nhỏ nhất.
Xem đáp án »
22/08/2024
1,972
Câu 6:
Gia tốc a(t) của một vật chuyển động, t tính theo giây, từ giây thứ nhất đến giây thứ 5 là một hàm liên tục có đồ thị như hình sau:
![Gia tốc a(t) của một vật chuyển động, t tính theo giây, từ giây thứ nhất đến giây thứ 5 là một hàm liên tục có đồ thị như hình sau: a) Lập bảng biến thiên của hàm vận tốc y = v(t) của vật, với t ∈ [1; 5]. b) Tại thời điểm nào vật chuyển động với vận tốc lớn nhất? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/08/blobid15-1724312568.png)
a) Lập bảng biến thiên của hàm vận tốc y = v(t) của vật, với t ∈ [1; 5].
b) Tại thời điểm nào vật chuyển động với vận tốc lớn nhất?
Gia tốc a(t) của một vật chuyển động, t tính theo giây, từ giây thứ nhất đến giây thứ 5 là một hàm liên tục có đồ thị như hình sau:
a) Lập bảng biến thiên của hàm vận tốc y = v(t) của vật, với t ∈ [1; 5].
b) Tại thời điểm nào vật chuyển động với vận tốc lớn nhất?
Xem đáp án »
22/08/2024
1,749
về câu hỏi!