Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}};\)

b) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}}.\)

a) \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}}\)

1. Tập xác định: D = ℝ\{2}.

2. Sự biến thiên

Ta có: y = x – 2 + \(\frac{4}{{x - 2}}\).

Giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \).

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}} = - \infty \).

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - (x - 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x--2 + \frac{4}{{x - 2}} - (x - 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{{x - 2}} = 0.\)

Do đó, đường thẳng y = x – 2 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: y' =\(\frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

           y' = 0 ⇔ \(\frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)= 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4.

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (4; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2) và (2; 4).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = −4.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và y_CT = 4.

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −4).

Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm (2; 0).

Hai trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số như sau:

b) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}}\)

1. Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

2. Sự biến thiên

Ta có: y = 2x + 1 − \(\frac{6}{{x + 1}}\).

Giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \).

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}} = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}} = + \infty \).

Do đó, đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - (2x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2x + 1 - \frac{6}{{x + 1}} - (2x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 6}}{{x + 1}} = 0.\)

Do đó, đường thẳng y = 2x + 1 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: y' =\(\frac{{2{x^2} + 4x + 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 6}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) > 0, với mọi x ≠ −1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −5).

Đồ thị hàm số cách trục hoành tại điểm \(\left( { - \frac{5}{2};0} \right)\) và (1; 0).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (−1; −1).

Hai trục đối xứng của đồ thị là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số như sau: