Cho điểm A(3;2 ) trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua A cắt trục hoành tại B, cắt trục tung tại C tạo thành một tam giác OBC nằm trong góc phần tư thứ nhấ, với O là gốc tọa độ.
a) Biết hoành độ điểm B là x = t với t > 3. Tính diện tích tam giác OBC theo t. Kí hiệu diện tích này là S(t).
b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số S(t).
c) Tìm vị trí điểm B để diện tích tam giác OBC là nhỏ nhất.
Cho điểm A(3;2 ) trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua A cắt trục hoành tại B, cắt trục tung tại C tạo thành một tam giác OBC nằm trong góc phần tư thứ nhấ, với O là gốc tọa độ.
a) Biết hoành độ điểm B là x = t với t > 3. Tính diện tích tam giác OBC theo t. Kí hiệu diện tích này là S(t).
b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số S(t).
c) Tìm vị trí điểm B để diện tích tam giác OBC là nhỏ nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Ta có: B(t; 0).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} \) = (t – 3; −2).
Phương trình đường thẳng AB là: \(\frac{{x - 3}}{{t - 3}} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}}\) hay y = 2 − \(\frac{2}{{t - 3}}\left( {x - 3} \right)\).
Suy ra điểm C có tung độ yC = 2 + \(\frac{6}{{t - 3}}\).
Vậy C\(\left( {0;2 + \frac{6}{{t - 3}}} \right)\).
Ta có: OB = \(\sqrt {{{\left( {t - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}} \) = t
OC = \(\sqrt {{{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {2 + \frac{6}{{t - 3}} - 0} \right)}^2}} = \frac{{2t}}{{t - 3}}\).
Diện tích tam giác OBC là S(t) = \(\frac{1}{2}\).OB.OC = \(\frac{1}{2}\).t.\(\frac{{2t}}{{t - 3}}\) = \(\frac{{{t^2}}}{{t - 3}}\).
b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số S(t) = \(\frac{{{t^2}}}{{t - 3}}\).
1. Tập xác định: D = (3; +∞).
2. Sự biến thiên
Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ + }} S(t) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } S(t) = + \infty \).
Ta có: S(t) = t + 3 +\(\frac{9}{{t - 3}}\).
S'(t) = 1 − \(\frac{9}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}}\)
S'(t) = 0 ⇔ 1 − \(\frac{9}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ t = 6 (do t > 3).
Ta có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đạt cực tiểu tại t = 6 và yCT = 12.
c) Dựa vào bảng biến thiên ở phần b, ta thấy để diện tích tam giác OBC có diện tích nhỏ nhất thì B(6; 0).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Ta có: \[f\left( x \right) = \frac{{C(x)}}{x}\] = 0,2x + 10 + \(\frac{5}{x}\) với x ≥ 1.
f'(x) = 0,2 – \(\frac{5}{{{x^2}}}\)
f'(x) = 0 ⇔ 0,2 – \(\frac{5}{{{x^2}}}\) = 0 ⇔ x = 5 (do x ≥ 1).
Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \).
Ta có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đồng biến trên khoảng (5; +∞), nghịch biến trên khoảng (1; 5).
Hàm số đạt cực đại tại x = 5 với fCT = 12.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = N(t).
1. Tập xác định: [0; +∞).
2. Sự biến thiên
Ta có: N(t) = \(\frac{{20\left( {4 + 3t} \right)}}{{1 + 0,05t}}\)
N'(t) = \(\frac{{56}}{{{{\left( {1 + 0,05t} \right)}^2}}} > 0\) với mọi t ≥ 0.
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).
Hàm số không có cực trị.
Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } N(t)\) = 1200.
Bảng biến thiên:
b) Số lượng tối đa có thể có của quần thể cá là 1 200 000 con.
![Gia tốc a(t) của một vật chuyển động, t tính theo giây, từ giây thứ nhất đến giây thứ 5 là một hàm liên tục có đồ thị như hình sau: a) Lập bảng biến thiên của hàm vận tốc y = v(t) của vật, với t ∈ [1; 5]. b) Tại thời điểm nào vật chuyển động với vận tốc lớn nhất? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/08/blobid15-1724312568.png)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập