Câu hỏi:
22/08/2024 3,630
Cho hàm số y = \(\frac{1}{3}\)x3 + (m – 1)x2 + (2m – 3)x + \(\frac{2}{3}\).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5\).
c) Tìm m để hàm số đồng biến trên ℝ.
d) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).
Cho hàm số y = \(\frac{1}{3}\)x3 + (m – 1)x2 + (2m – 3)x + \(\frac{2}{3}\).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5\).
c) Tìm m để hàm số đồng biến trên ℝ.
d) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Khi m = 2, ta có: y = \(\frac{1}{3}\)x3 + x2 + x + \(\frac{2}{3}\).
y' = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ≥ 0 với mọi x.
Hàm số luôn đồng biến trên ℝ.
Hàm số không có cực trị.
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \)
Đồ thị hàm số nhận điểm I\(\left( { - 1;\frac{1}{3}} \right)\) làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số có hình vẽ như sau:
b) Ta có: y = \(\frac{1}{3}\)x3 + (m – 1)x2 + (2m – 3)x + \(\frac{2}{3}\)
y' = x2 + 2(m – 1)x + 2m – 3
y' = x2 + 2mx – 2x + 2m – 3
y' = (x2 – 2x – 3) + (2mx + 2m)
y' = (x + 1)(x – 3) + 2m(x + 1).
y' = (x + 1) (x – 3 + 2m)
y' = 0 khi x = −1 hay x = 3 – 2m
Để hàm số có hai nghiệm phân biệt thì x1 ≠ x2 hay 3 – 2m ≠ −1 hay m ≠ 2.
Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = 5\)
(−1)2 + (3 – 2m)2 = 5
(3 – 2m)2 = 4
Suy ra 3 – 2m = 2 hoặc 3 – 2m = −2
⇒ m = \(\frac{5}{2}\) hoặc m \(\frac{1}{2}\).
Vậy m ∈ \(\left\{ {\frac{5}{2};\frac{1}{2}} \right\}\).
c) Ta có: y' = x2 + 2(m – 1)x + 2m – 3
Để hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\)⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\4{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {2m - 3} \right) \le 0\end{array} \right.\)
m2 – 2m + 1 – 2m + 3 ≤ 0
m2 – 4m + 4 ≤ 0
(m – 2)2 ≤ 0
⇒ m = 2.
d) Ta có: y' = x2 + 2(m – 1)x + 2m – 3
y' = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3 - 2m\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: −1 ≤ 3 – 2m ⇔ m ≤ 2. Ta có bảng biến thiên như sau:
Để hàm số đồng biến trên (1; +∞) thì 3 – 2m ≤ 1 ⇔ m ≥ 1.
Vậy kết hợp điều kiện ta được 1 ≤ m ≤ 2.
Trường hợp 2: 3 – 2m < −1 ⇔ m > 2. Có bảng biến thiên như sau:
Trường hợp này hàm số đồng biến trên (−1; +∞) nên hiển nhiên đồng biến trên (1; +∞).
Vậy trường hợp này m > 2.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞) khi và chỉ khi m ≥ 1.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có:
Kẻ AH là chiều cao của tam giác ABC
Lúc này, AH = \(\sqrt {A{C^2} - H{C^2}} \) = \(\sqrt {25 - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} \) = \(\frac{1}{2}\sqrt {100 - {x^2}} \).
Diện tích tam giác ABC là:
S∆ABC = \(\frac{1}{2}\)BC. AH = \(\frac{1}{2}\)x\(\frac{1}{2}\sqrt {100 - {x^2}} \) = \(\frac{1}{4}x\sqrt {100 - {x^2}} \).
Thể tích khối lăng trụ là:
V = S∆ABC. AA' = 5x\(\sqrt {100 - {x^2}} \) (m3) với 0 < x < 10.
b) Xét hàm số thể tích f(x) = 5x\(\sqrt {100 - {x^2}} \) trên khoảng (0; 10).
Ta có: f'(x) = 5\(\sqrt {100 - {x^2}} \) + 5x.\(\frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {100 - {x^2}} }}\) = \(\frac{{500 - 10{x^2}}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\);
f'(x) = 0 ⇔ x = \(5\sqrt 2 \) (x > 0).
Bảng biến thiên:
Vậy hình lăng trụ có thể tích lớn nhất khi x = \(5\sqrt 2 \) (m).
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{x \in (0;10)} V = V\left( {5\sqrt 2 } \right) = 250\)(m3).
Lời giải
a) Tập xác định: D = ℝ.
Ta có: y' = 3x2 – 6x2
y' = 0 ⇔ 3x2 – 6x2 = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 và yCĐ = y(0) = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 và yCT = y(2) = −2.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \)
Ta có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (3; 2); (2; −2); (−1; −2); (0; 2).
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (1; 0).
Đồ thị hàm số như sau:
b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 0).
Ta có: y'(1) = −3.
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tâm đối xứng của nó là:
y = y'(1)(x – 1) + y(1)
= −3(x – 1) + 0
= −3x + 3 (∆).
Ta có: y' = 3x2 – 6x = 3(x2 – 2x + 1) – 3 = 3(x – 1)2 – 3 ≥ −3 với mọi x.
Vậy ∆ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).
c) Ta có: x3 – 3x2 – m = 0 ⇔ x3 – 3x2 + 2 = m + 2.
Vậy phương trình x3 – 3x2 – m = 0 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m + 2. Suy ra, phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m + 2 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt, điều này tương đương với −2 < m + 2 < 2 ⇔ −4 < m < 0.Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
140 câu Bài tập Hàm số mũ và Logarit cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P1)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận