Câu hỏi:
22/08/2024 1,832
Cho hàm số y = \(\frac{1}{3}\)x3 + (m – 1)x2 + (2m – 3)x + \(\frac{2}{3}\).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5\).
c) Tìm m để hàm số đồng biến trên ℝ.
d) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).
Cho hàm số y = \(\frac{1}{3}\)x3 + (m – 1)x2 + (2m – 3)x + \(\frac{2}{3}\).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5\).
c) Tìm m để hàm số đồng biến trên ℝ.
d) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).
Câu hỏi trong đề:
Giải SBT Toán 12 Tập 1 KNTT Bài tập cuối chương I có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Khi m = 2, ta có: y = \(\frac{1}{3}\)x3 + x2 + x + \(\frac{2}{3}\).
y' = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ≥ 0 với mọi x.
Hàm số luôn đồng biến trên ℝ.
Hàm số không có cực trị.
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \)
Đồ thị hàm số nhận điểm I\(\left( { - 1;\frac{1}{3}} \right)\) làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số có hình vẽ như sau:
b) Ta có: y = \(\frac{1}{3}\)x3 + (m – 1)x2 + (2m – 3)x + \(\frac{2}{3}\)
y' = x2 + 2(m – 1)x + 2m – 3
y' = x2 + 2mx – 2x + 2m – 3
y' = (x2 – 2x – 3) + (2mx + 2m)
y' = (x + 1)(x – 3) + 2m(x + 1).
y' = (x + 1) (x – 3 + 2m)
y' = 0 khi x = −1 hay x = 3 – 2m
Để hàm số có hai nghiệm phân biệt thì x1 ≠ x2 hay 3 – 2m ≠ −1 hay m ≠ 2.
Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = 5\)
(−1)2 + (3 – 2m)2 = 5
(3 – 2m)2 = 4
Suy ra 3 – 2m = 2 hoặc 3 – 2m = −2
⇒ m = \(\frac{5}{2}\) hoặc m \(\frac{1}{2}\).
Vậy m ∈ \(\left\{ {\frac{5}{2};\frac{1}{2}} \right\}\).
c) Ta có: y' = x2 + 2(m – 1)x + 2m – 3
Để hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\)⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\4{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {2m - 3} \right) \le 0\end{array} \right.\)
m2 – 2m + 1 – 2m + 3 ≤ 0
m2 – 4m + 4 ≤ 0
(m – 2)2 ≤ 0
⇒ m = 2.
d) Ta có: y' = x2 + 2(m – 1)x + 2m – 3
y' = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3 - 2m\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: −1 ≤ 3 – 2m ⇔ m ≤ 2. Ta có bảng biến thiên như sau:
Để hàm số đồng biến trên (1; +∞) thì 3 – 2m ≤ 1 ⇔ m ≥ 1.
Vậy kết hợp điều kiện ta được 1 ≤ m ≤ 2.
Trường hợp 2: 3 – 2m < −1 ⇔ m > 2. Có bảng biến thiên như sau:
Trường hợp này hàm số đồng biến trên (−1; +∞) nên hiển nhiên đồng biến trên (1; +∞).
Vậy trường hợp này m > 2.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞) khi và chỉ khi m ≥ 1.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng một lăng trụ đứng (xem hình bên). Hai mặt bên ABB'A' và ACC'A' là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20 m, rộng 5 m. Gọi x (m) là độ dài của cạnh BC.
a) Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x.
b) Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng một lăng trụ đứng (xem hình bên). Hai mặt bên ABB'A' và ACC'A' là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20 m, rộng 5 m. Gọi x (m) là độ dài của cạnh BC.
a) Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x.
b) Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Xem đáp án »
22/08/2024
10,222
Câu 2:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x + 2023}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
A. 2 021.
B. 2 024.
C. 2 023.
D. 2 022.
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x + 2023}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
A. 2 021.
B. 2 024.
C. 2 023.
D. 2 022.
Xem đáp án »
22/08/2024
8,232
Câu 3:
Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) tại tâm đối xứng của nó. Chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 – 3x2 – m = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) tại tâm đối xứng của nó. Chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 – 3x2 – m = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Xem đáp án »
22/08/2024
4,745
Câu 4:
Cắt bỏ hình quạt AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu (0 < x < 2π).
a) Hãy biểu diễn bán kính đáy r và đường cao h của hình nón theo P và x.
b) Tính thể tích của hình nón theo R và x.
c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Cắt bỏ hình quạt AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu (0 < x < 2π).
a) Hãy biểu diễn bán kính đáy r và đường cao h của hình nón theo P và x.
b) Tính thể tích của hình nón theo R và x.
c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Xem đáp án »
22/08/2024
2,600
Câu 5:
Cho hàm số y = \(\frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ sau:
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. bc < ad < 0.
B. ad < 0 < bc.
C. 0 < ad < bc.
D. ad < bc < 0.
Cho hàm số y = \(\frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ sau:
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. bc < ad < 0.
B. ad < 0 < bc.
C. 0 < ad < bc.
D. ad < bc < 0.
Xem đáp án »
22/08/2024
2,439
Câu 6:
Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x - 2m + 1}}{{x - 1}}\).
a) Tìm m để tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 2).
b) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = f(x) với m tìm được ở câu a.
c) Từ đồ thị (H) của hàm số y = f(x) ở câu b, vẽ đồ thị của hàm số y = \(\left| {f(x)} \right|\).
Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x - 2m + 1}}{{x - 1}}\).
a) Tìm m để tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 2).
b) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = f(x) với m tìm được ở câu a.
c) Từ đồ thị (H) của hàm số y = f(x) ở câu b, vẽ đồ thị của hàm số y = \(\left| {f(x)} \right|\).
Xem đáp án »
22/08/2024
1,382
về câu hỏi!