Câu hỏi:
22/08/2024 4,055
Cắt bỏ hình quạt AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu (0 < x < 2π).
a) Hãy biểu diễn bán kính đáy r và đường cao h của hình nón theo P và x.
b) Tính thể tích của hình nón theo R và x.
c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Cắt bỏ hình quạt AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu (0 < x < 2π).
a) Hãy biểu diễn bán kính đáy r và đường cao h của hình nón theo P và x.
b) Tính thể tích của hình nón theo R và x.
c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón bằng độ dài của quạt tròn dùng làm phễu nên ta có: 2πr = Rx ⇔ r = \(\frac{{Rx}}{{2\pi }}\).
Mặt khác h = \(\sqrt {{R^2} - {r^2}} \) = \(\sqrt {{R^2} - \frac{{{R^2}{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \) = \(\frac{R}{{2\pi }}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \).
b) Thể tích của hình nón là:
V = \(\frac{1}{3}\pi {r^2}h\) = \(\frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \), 0 < x < 2π.
c) Ta cần tìm x ∈ (0; 2π) sao cho thể tích V đạt giá trị lớn nhất.
Xét hàm số f(x) = \(\frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \), x ∈ (0; 2π).
Ta có: f'(x) = \(\frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}.\frac{{x\left( {8{\pi ^2} - 3{x^2}} \right)}}{{\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }}\)
f'(x) = 0 ⇔ x = \(\frac{{2\pi \sqrt 6 }}{3}\)≈ 1,63π.
Ta có bảng biến thiên như sau:
Hình nón có thể tích lớn nhất khi x = \(\frac{{2\pi \sqrt 6 }}{3}\)≈ 1,63π.
Khi đó: \(\mathop {\max }\limits_{x \in (0;2\pi )} V = f\left( {\frac{{2\pi \sqrt 6 }}{3}} \right) = \frac{{2\sqrt 3 }}{{27}}\pi {R^3}\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng một lăng trụ đứng (xem hình bên). Hai mặt bên ABB'A' và ACC'A' là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20 m, rộng 5 m. Gọi x (m) là độ dài của cạnh BC.
a) Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x.
b) Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng một lăng trụ đứng (xem hình bên). Hai mặt bên ABB'A' và ACC'A' là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20 m, rộng 5 m. Gọi x (m) là độ dài của cạnh BC.
a) Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x.
b) Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Xem đáp án »
22/08/2024
16,618
Câu 2:
Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) tại tâm đối xứng của nó. Chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 – 3x2 – m = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) tại tâm đối xứng của nó. Chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 – 3x2 – m = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Xem đáp án »
22/08/2024
14,987
Câu 3:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x + 2023}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
A. 2 021.
B. 2 024.
C. 2 023.
D. 2 022.
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x + 2023}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
A. 2 021.
B. 2 024.
C. 2 023.
D. 2 022.
Xem đáp án »
22/08/2024
12,343
Câu 4:
Cho hàm số y = \(\frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ sau:
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. bc < ad < 0.
B. ad < 0 < bc.
C. 0 < ad < bc.
D. ad < bc < 0.
Cho hàm số y = \(\frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ sau:
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. bc < ad < 0.
B. ad < 0 < bc.
C. 0 < ad < bc.
D. ad < bc < 0.
Xem đáp án »
22/08/2024
6,064
Câu 5:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x – 1)2(x + 2)4 với mọi x ∈ ℝ. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x – 1)2(x + 2)4 với mọi x ∈ ℝ. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Xem đáp án »
22/08/2024
4,195
Câu 6:
Cho hàm số y = \(\frac{1}{3}\)x3 + (m – 1)x2 + (2m – 3)x + \(\frac{2}{3}\).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5\).
c) Tìm m để hàm số đồng biến trên ℝ.
d) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).
Cho hàm số y = \(\frac{1}{3}\)x3 + (m – 1)x2 + (2m – 3)x + \(\frac{2}{3}\).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5\).
c) Tìm m để hàm số đồng biến trên ℝ.
d) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).
Xem đáp án »
22/08/2024
3,585
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
7 câu Trắc nghiệm Khối đa diện lồi và khối đa diện đều có đáp án (Vận dụng)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận