Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M và N (M khác A và B, N khác A và C). Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn (O) tại một điểm S khác A. Chứng minh rằng $\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}}.$

Câu hỏi trong đề: Giải VTH Toán 9 KNTT Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M và N (M khác A và B, N khác A và C). Giả sử đường tròn ngoại tiếp (ảnh 1)

Vì $\widehat {SMA}$ và $\widehat {SNA}$ là các góc nội tiếp của đường tròn nội tiếp tam giác AMN và cùng chắn cung nên \[\widehat {SMA} = \widehat {SNA}.\] Từ đây suy ra

\[\widehat {SMB} = 180^\circ - \widehat {SMA} = 180^\circ - \widehat {SNA} = \widehat {SNC}.\] (1)

Xét tam giác SBM và tam giác SCN, ta có:

\[\widehat {SBM} = \widehat {SCN}\] (hai góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung ),

\[\widehat {SMB} = \widehat {SNC}\] (theo chứng minh trên).

Vậy ∆SBM ᔕ ∆SCN (g.g). Suy ra $\frac{{SM}}{{SN}} = \frac{{SB}}{{SC}},$ hay $\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}}.$

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng $\widehat {BAH} = \widehat {OAC}.$

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng $\widehat {BAH} = \widehat {OAC}.$ (ảnh 1)$

Cho AH cắt BC tại D ta được tam giác ABD vuông tại D. Khi đó

$\widehat {BAH} = \widehat {BAD} = 90^\circ - \widehat {ABD} = 90^\circ - \widehat {ABC}.$ (1)

Mặt khác, vì ∆AOC cân tại O nên:

$\widehat {OAC} = \widehat {OCA} = \frac{{180^\circ - \widehat {AOC}}}{2} = 90^\circ - \frac{{\widehat {AOC}}}{2} = 90^\circ - \widehat {ABC}.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {BAH} = \widehat {OAC}.$

Câu 2

Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC với các tiếp điểm trên các cạnh AB, AC lần lượt là E, F. Chứng minh rằng $\widehat {EIF} + \widehat {BAC} = 180^\circ .$

Xem đáp án

Lời giải

Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC với các tiếp điểm trên các cạnh AB, AC lần lượt là E, F. Chứng minh rằng góc EIF + góc BAC = 180 độ (ảnh 1)

Vì các tam giác EIA và FIA lần lượt vuông tại đỉnh E và F nên $\widehat {EIA} + \widehat {IAE} = 90^\circ $ và $\widehat {FIA} + \widehat {AIF} = 90^\circ .$

Ta có: $\widehat {EIF} + \widehat {BAC} = \widehat {EIA} + \widehat {AIF} + \widehat {IAE} + \widehat {FAI}$

\[ = \left( {\widehat {EIA} + \widehat {IAE}} \right) + \left( {\widehat {FAI} + \widehat {AIF}} \right)\]$ = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ .$

Câu 3