Cho hàm số y = \(\frac{{2x - 1}}{{ - x + 3}}\). Chứng tỏ rằng đường thẳng y = −x cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.

a) Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\) = x + 3 + \(\frac{1}{{x - 1}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty \). Do đó, x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x + 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0\). Do đó, y = x + 3 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Nhận thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang y = x + 3. Vậy giao điểm I có tọa độ I(1; 4).

b) Ta có: xM = xI – t = 1 – t; xM' = xI + t = 1 + t

                yM = \(\frac{{x_M^2 + 2{x_M} - 2}}{{{x_M} - 1}} = \frac{{{{\left( {1 - t} \right)}^2} + 2\left( {1 - t} \right) - 2}}{{\left( {1 - t} \right) - 1}}\)

               yM' = \(\frac{{x_{M'}^2 + 2{x_{M'}} - 2}}{{{x_{M'}} - 1}} = \frac{{{{\left( {1 + t} \right)}^2} + 2\left( {1 + t} \right) - 2}}{{\left( {1 + t} \right) - 1}}\)

Do đó, yM + yM' = \(\frac{{{{\left( {1 - t} \right)}^2} + 2\left( {1 - t} \right) - 2}}{{\left( {1 - t} \right) - 1}}\) + \(\frac{{{{\left( {1 + t} \right)}^2} + 2\left( {1 + t} \right) - 2}}{{\left( {1 + t} \right) - 1}}\) = 8 = 2yI.

Suy ra I là trung điểm của MM' hay M và M' đối xứng với nhau qua I.

a) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}\)

Tập xác định: D = ℝ\{1}.

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{y}{x}\) = 1 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (y - x) =  - 1\)nên đường thẳng y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty \) nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = \(\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

           y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).

Nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 1) và (1; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = −2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yCT = 2.

Đồ thị hàm số:

b) Tập xác định: D = ℝ\\(\left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{y}{x}\) = −2 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y + 2x} \right)\) = 0 nên đường thẳng y = −2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ - }} y =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{2}}^ + }} y =  + \infty \) nên x = \( - \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = \(\frac{{ - 2{{\left( {2x + 1} \right)}^2} - 2}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\) = −2 – \(\frac{2}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\).

Vì y' < 0 với mọi x ≠ \( - \frac{1}{2}\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Bảng biến thiên:

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị hàm số: