Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Gọi x, y, z theo thứ tự là số đo các góc hợp bởi vectơ \(\overrightarrow {AC'} \) với các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} \).

Chứng minh cos²x + cos²y + cos²_Z = 1.

Gọi \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) lần lượt là ba lực tác động vào một vật đặt tại điểm O như Hình 2.

Ta có: \(\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {OA} \), \(\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OB} \), \(\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {OC} \).

Độ lớn các lực: F1 = OA = 10 N, F2 = OB = 8 N, F3 = OC = 6 N.

Dựng hình bình hành OADB. Theo quy tắc hình bình hành, ta có: \(\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \).

Suy ra \({\overrightarrow {OD} ^2} = {\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right)^2} = {\overrightarrow {OA} ^2} + {\overrightarrow {OB} ^2} + 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} \)

Mà \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} \) = OA.OB.cos\(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)\)

⇒ OD2 = OA2 + OB2 + 2OA.OB.cos120°.

Dựng hình bình hành ODEC.

Tổng lực tác động vào vật là \(\overrightarrow F  = \overrightarrow {OE}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} \).

Độ lớn của hợp lực tác động vào vật là F = OE.

Vì \(OC \bot \left( {OADB} \right)\) nên OC ⊥ OD, suy ra ODEC là hình chữ nhật.

Do đó, tam giác ODE vuông tại D.

Khi đó, OE2 = OC2 + OD2 = OC2 + OA2 + OB2 + 2OA.OB.cos120°.

Suy ra OE = \(\sqrt {O{C^2} + O{A^2} + O{B^2} + 2.OA.OB\cos 120^\circ } \)

                 = \(\sqrt {{6^2} + {{10}^2} + {8^2} + 2.10.8.\cos 120^\circ } \) ≈ 10,95.

Do đó, F = OE ≈ 10,95 N.