Tính các tích phân sau:

a) \[\int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|} dx\];

b) \[\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} dx\].

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2. Tích phân có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có: x² + x – 2 = 0 ⇔ (x + 2)(x – 1) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −2.

Ta có: x² + x – 2 ≤ 0 với mọi x ∈ [−1; 1] và x² + x – 2 ≤ 0 với mọi x ∈ [1; 2].

Suy ra, \[\int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|} dx\]

\[ = \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ { - \left( {{x^2} + x - 2} \right)} \right]} dx + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + x - 2} \right)dx} \]

\[ = \left. { - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_{ - 1}^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_1^2 = \frac{{31}}{6}.\]

b) \[\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} dx\]

Ta có: e^x – 1 = 0 ⇔ x = 0.

Ta có e^x – 1 ≤ 0 với mọi x ∈ [−1; 0] và e^x – 1 ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 1].

Từ đó, \[\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {1 - {e^x}} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)dx} \]

\[ = \left. {\left( {x - {e^x}} \right)} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left( {{e^x} - x} \right)} \right|_0^1 = e + \frac{1}{e} - 2\].

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một vật đang ở nhiệt độ 100℃ thì được đặt vào môi trường có nhiệt độ 30℃. Kể từ đó, nhiệt độ của vật giảm dần theo tốc dộ

\[T'\left( t \right) = - 140.{e^{ - 2t}}\] (℃/phút),

trong đó T(t) là nhiệt độ tính theo ℃ tại thời điểm t phút kể từ khi được đặt trong môi trường.
Xác định nhiệt độ của vật ở thời điểm 3 phút kể từ khi được đặt vào môi trường (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của ℃).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: \[\int\limits_0^3 {T'\left( t \right)dt} = \int\limits_0^3 {\left( { - 140{e^{ - 2t}}} \right)dt} \]

\[ = - 140\int\limits_0^3 {{{\left( {{e^{ - 2}}} \right)}^t}dt} \]

\[ = \left. {\frac{{ - 140{e^{ - 2t}}}}{{\ln {e^{ - 2}}}}} \right|_0^3 = 70\left( {{e^{ - 6}} - 1} \right)\].

Theo đề, T(0) = 100℃.

Ta có: T(3) – T(0) = 70(e−6 – 1) ⇒ T(3) = 100 + 70(e−6 – 1) ≈ 30,2℃.

Vậy nhiệt độ của vật ở thời điểm 3 phút kể từ khi đặt vào môi trường là 30,2℃.

Câu 2

Sau khi được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng, một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 20 – 10t (m/s) với 0 ≤ t ≤ 4.

a) Xác định độ cao của vật (tính theo mét) tại thời điểm t = 3.

b) Tính quãng đường vật đi được trong 3 giây đầu.

Xem đáp án

Lời giải

a) Kí hiệu h(t) là độ cao của vật (tính theo mét) tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ 4).

Ta có: h'(t) = v(t) và h(0) = 0.

Từ đó, \[h\left( 3 \right) - h\left( 0 \right) = \int\limits_0^3 {v\left( t \right)dt = \int\limits_0^3 {\left( {20 - 10t} \right)dt} } \]

\[ = \left. {\left( {20t - 5{t^2}} \right)} \right|_0^3 = 15{\rm{ }}\left( m \right).\]

Suy ra h(3) = 15 + h(0) = 15 + 0 = 15 (m).

b) Quãng đường vật đi được trong 3 giây đầu là:

s = \[\int\limits_0^3 {\left| {v\left( t \right)} \right|dt = } \int\limits_0^3 {\left| {20 - 10t} \right|dt} \]

\[ = \int\limits_0^2 {\left( {20 - 10t} \right)dt + \int\limits_2^3 {\left( {10t - 20} \right)} } dt\]

\[ = \left. {\left( {20t - 5{t^2}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {5{t^2} - 20t} \right)} \right|_0^2\] = 20 + 5 = 25 (m).

Câu 3