Câu hỏi:
19/09/2024 13Tính các tích phân sau:
a) \[\int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|} dx\];
b) \[\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} dx\].
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
a) Ta có: x2 + x – 2 = 0 ⇔ (x + 2)(x – 1) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −2.
Ta có: x2 + x – 2 ≤ 0 với mọi x ∈ [−1; 1] và x2 + x – 2 ≤ 0 với mọi x ∈ [1; 2].
Suy ra, \[\int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|} dx\]
\[ = \int\limits_{ - 1}^1 {\left[ { - \left( {{x^2} + x - 2} \right)} \right]} dx + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + x - 2} \right)dx} \]
\[ = \left. { - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_{ - 1}^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_1^2 = \frac{{31}}{6}.\]
b) \[\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} dx\]
Ta có: ex – 1 = 0 ⇔ x = 0.
Ta có ex – 1 ≤ 0 với mọi x ∈ [−1; 0] và ex – 1 ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 1].
Từ đó, \[\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {1 - {e^x}} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)dx} \]
\[ = \left. {\left( {x - {e^x}} \right)} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left( {{e^x} - x} \right)} \right|_0^1 = e + \frac{1}{e} - 2\].
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Tính các tích phân sau:
a) \[\int\limits_0^2 {\left( {3x - 2} \right)\left( {3x + 2} \right)dx} \];
b) \[\int\limits_1^2 {{t^2}\left( {5{t^2} - 2} \right)dt} \];
c) \[\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)dx} \].
Câu 2:
Tính các tích phân sau:
a) \[\int\limits_1^2 {\frac{{1 - 2x}}{{{x^2}}}dx} \];
b) \[\int\limits_1^2 {{{\left( {\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)}^2}dx} \];
c) \[\int\limits_1^4 {\frac{{x - 4}}{{\sqrt x + 2}}dx} \].
Câu 3:
Tính các tích phân sau:
a) \[\int\limits_1^3 {{e^{x - 2}}dx} \];
b) \[\int\limits_0^1 {{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}dx} \];
c) \[\int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}} - 1}}{{{e^x} + 1}}dx} \].
Câu 4:
Tính:
a) \[A = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {x - 4{x^2}} \right)dx + 4\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 1} \right)dx} } \];
b) \[B = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 6x} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {{t^3} - 6t} \right)dt} \].
Câu 5:
Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn \[\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx = - 2} \]; \[\int\limits_0^5 {f\left( t \right)dt = 4} \]. Tính \[\int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx} \].
Câu 6:
Tìm đạo hàm của hàm số F(x) = \[\sqrt {4x + 1} \]. Từ đó, tính tích phân \[\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4x + 1} }}dx} \].
về câu hỏi!