Câu hỏi:
19/12/2024 1,574Cho một mảnh giấy hình vuông ABCD cạnh 6 cm. Gọi E, F lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh AD và BC sao choAE = 2cm; BF = 3 cm. Bạn Nam muốn cắt một hình thang EFGH (như hình bên) sao cho hình thang đó có diện tích nhỏ nhất. Xác định vị trí của H trên cạnh AD để bạn Nam có thể thực hiện mong muốn của mình?
Quảng cáo
Trả lời:
Đáp án đúng là: A
Diện tích hình vuông ABCD là 62 = 36 (cm2).
Diện tích tam giác BEF là \[\frac{1}{2}\].3.(6 – 2) = 6 (cm2).
Diện tích hình thang EFGH là:
SABCD − SBEF – SAHE – SDHG – SCGF = 30 – (SAHE + SDHG + SCGF).
Để diện tích hình thang EFGH nhỏ nhất thì SAHE + SHDG + SCGF có diện tích lớn nhất.
Ta có: SAHE + SHDG + SCGF = \[\frac{1}{2}\].2x + \[\frac{1}{2}\](6 – x)(6 – y) + \[\frac{1}{2}\].3y
= 2x + (6 – x)(6 – y) + 3y
= 2x + 36 – 6y – 6x + xy + 3y
= 36 + xy – 4x – 3y.
Xét ∆AEH và ∆CGF, có: \[\widehat {EAH} = \widehat {GCF}\] = 90° và \[\widehat {AEH} = \widehat {CGF}\] (do EFGH là hình thang).
Suy ra ∆AEH ᔕ ∆CGF (g-g) nên \[\frac{{AH}}{{CF}} = \frac{{AE}}{{CG}}\] hay \[\frac{2}{y} = \frac{x}{3}\] do đó xy = 6 hay y = \[\frac{6}{x}.\]
Từ đó, ta có: 2(SAHE + SHDG + SCGF) = 21 – \[\left( {2x + \frac{9}{x}} \right)\].
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì 2x + \[\frac{9}{x}\] đạt giá trị nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(2x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt {2x.\frac{9}{x}} = 6\sqrt 2 \)
Dấu “=” xảy ra khi 2x = \[\frac{9}{x}\] hay 2x2 = 9 khi x = \[\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\].
Do đó, SAHE + SHDG + SCGF = 21 – 6\[\sqrt 2 \] và
SEFGH = 30 – 21 + 6\[\sqrt 2 \] = 9 + 6\[\sqrt 2 \] (cm2).
Vậy AH = x = \[\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\] (cm2) thì diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Gọi x là giá mà cửa hàng phải bán để sau khi giảm giá thu được lợi nhuận cao nhất (x > 0, triệu đồng).
Theo đề, số tiền mà của hàng sẽ giảm là 22 – x (triệu đồng) mỗi chiếc.
Khi đó, số lượng máy tính tăng lên là: 50(22 – x) : 0,2 = 250(22 – x) chiếc.
Do đó, số lượng máy tính mà doanh nghiệp bán được là:
500 + 250(22 – x) = 6000 – 250x (chiếc)
Doanh thu mà cửa hàng sẽ đạt được là: (6000 – 250x)x (triệu đồng).
Tiền mà cửa hàng bỏ ra để nhập máy tính sẽ là:
18(6000 – 250x) = 108000 – 4500x (triệu đồng)
Lợi nhuận mà cửa hàng thu được sau khi bán giá mới là:
(6000 – 250x)x – 108000 + 4500x = −250x2 + 10500x – 108000 (triệu đồng).
Ta có: −250x2 + 10500x – 108000 = −250(x – 21)2 + 2250 ≤ 2250.
Dấu “=” xảy ra khi −250(x – 21)2 = 0 suy ra x – 21 = 0 khi x = 21.
Vậy cửa hàng bán với giá 21 triệu đồng thì doanh thu nhận được là lớn nhất.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Gọi độ dài của đoạn AE = x (0 < x < 4) (m) suy ra độ dài của đoạn
EB = 4 – x (m).
Theo đề, các phần đất hình tam giác bằng nhau, nên ta có:
AE = BH = GC = DF = x (m) và BE = CH = GD = AF = 4 – x (m).
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AEF vuông tại A, ta có:
AE2 + AF2 = EF2
2x2 – 8x + 16 = EF2
Suy ra EF = \[\sqrt {2{x^2} - 8x + 16} {\rm{ }} = {\rm{ }}\sqrt {2\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 8} = \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] (m).
Do các phần hình tam giác có diện tích bằng nhau nên ta có:
FG = GH = HE = EF = \[\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] (m).
Suy ra, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi \[\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] nhỏ nhất.
Với mọi 0 < x < 4, ta có:
2(x – 2)2 ≥ 0
2(x – 2)2 + 8 ≥ 8
\[\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] ≥ \[\sqrt 8 \]
\[4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] ≥ \[4\sqrt 8 \]
\[4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] ≥ \[8\sqrt 2 \].
Do đó, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất bằng \[8\sqrt 2 \] (m) khi x – 2 = 0 hay x = 2 (m).
Vậy khoảng cách từ A đến E bằng 2 m thì tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Dạng 5: Bài toán về lãi suất ngân hàng có đáp án
123 bài tập Nón trụ cầu và hình khối có lời giải
Đề thi minh họa TS vào 10 năm học 2025 - 2026_Môn Toán_Tỉnh Đắk Lắk
Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án
Dạng 6: Bài toán về tăng giá, giảm giá và tăng, giảm dân số có đáp án
15 câu Trắc nghiệm Toán 9 Kết nối tri thức Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án
Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01
Tổng hợp các bài toán thực tế ôn thi vào 10 Toán 9 có đáp án (Phần 2: Hình học)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận