Câu hỏi:

19/12/2024 1,574

Cho một mảnh giấy hình vuông ABCD cạnh 6 cm. Gọi E, F lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh AD và BC sao choAE = 2cm; BF = 3 cm. Bạn Nam muốn cắt một hình thang EFGH (như hình bên) sao cho hình thang đó có diện tích nhỏ nhất. Xác định vị trí của H trên cạnh AD để bạn Nam có thể thực hiện mong muốn của mình?

 Cho một mảnh giấy hình vuông ABCD cạnh 6 cm. Gọi E, F lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh AD và BC sao choAE = 2cm; BF = 3 cm. Bạn Nam muốn cắt một hình thang EFGH (như hình bên) sao cho hình (ảnh 1)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: A

Diện tích hình vuông ABCD là 62 = 36 (cm2).

Diện tích tam giác BEF là \[\frac{1}{2}\].3.(6 – 2) = 6 (cm2).

Diện tích hình thang EFGH là:

SABCD − SBEF – SAHE – SDHG – SCGF = 30 – (SAHE + SDHG + SCGF).

Để diện tích hình thang EFGH nhỏ nhất thì SAHE + SHDG + SCGF có diện tích lớn nhất.

Ta có: SAHE + SHDG + SCGF = \[\frac{1}{2}\].2x + \[\frac{1}{2}\](6 – x)(6 – y) + \[\frac{1}{2}\].3y

= 2x + (6 – x)(6 – y) + 3y

= 2x + 36 – 6y – 6x + xy + 3y

= 36 + xy – 4x – 3y.

Xét ∆AEH và ∆CGF, có: \[\widehat {EAH} = \widehat {GCF}\] = 90° và \[\widehat {AEH} = \widehat {CGF}\] (do EFGH là hình thang).

Suy ra ∆AEH ᔕ ∆CGF (g-g) nên \[\frac{{AH}}{{CF}} = \frac{{AE}}{{CG}}\] hay \[\frac{2}{y} = \frac{x}{3}\] do đó xy = 6 hay y = \[\frac{6}{x}.\]

Từ đó, ta có: 2(SAHE + SHDG + SCGF) = 21 – \[\left( {2x + \frac{9}{x}} \right)\].

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì 2x + \[\frac{9}{x}\] đạt giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(2x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt {2x.\frac{9}{x}} = 6\sqrt 2 \)

Dấu “=” xảy ra khi 2x = \[\frac{9}{x}\] hay 2x2 = 9 khi x = \[\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\].

Do đó, SAHE + SHDG + SCGF = 21 – 6\[\sqrt 2 \] và

SEFGH = 30 – 21 + 6\[\sqrt 2 \] = 9 + 6\[\sqrt 2 \] (cm2).

Vậy AH = x = \[\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\] (cm2) thì diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Gọi x là giá mà cửa hàng phải bán để sau khi giảm giá thu được lợi nhuận cao nhất (x > 0, triệu đồng).

Theo đề, số tiền mà của hàng sẽ giảm là 22 – x (triệu đồng) mỗi chiếc.

Khi đó, số lượng máy tính tăng lên là: 50(22 – x) : 0,2 = 250(22 – x) chiếc.

Do đó, số lượng máy tính mà doanh nghiệp bán được là:

500 + 250(22 – x) = 6000 – 250x (chiếc)

Doanh thu mà cửa hàng sẽ đạt được là: (6000 – 250x)x (triệu đồng).

Tiền mà cửa hàng bỏ ra để nhập máy tính sẽ là:

18(6000 – 250x) = 108000 – 4500x (triệu đồng)

Lợi nhuận mà cửa hàng thu được sau khi bán giá mới là:

(6000 – 250x)x – 108000 + 4500x = −250x2 + 10500x – 108000 (triệu đồng).

Ta có: −250x2 + 10500x – 108000 = −250(x – 21)2 + 2250 ≤ 2250.

Dấu “=” xảy ra khi −250(x – 21)2 = 0 suy ra x – 21 = 0 khi x = 21.

Vậy cửa hàng bán với giá 21 triệu đồng thì doanh thu nhận được là lớn nhất.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Gọi độ dài của đoạn AE = x (0 < x < 4) (m) suy ra độ dài của đoạn

EB = 4 – x (m).

Theo đề, các phần đất hình tam giác bằng nhau, nên ta có:

AE = BH = GC = DF = x (m) và BE = CH = GD = AF = 4 – x (m).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AEF vuông tại A, ta có:

AE2 + AF2 = EF2

2x2 – 8x + 16 = EF2

Suy ra EF = \[\sqrt {2{x^2} - 8x + 16} {\rm{ }} = {\rm{ }}\sqrt {2\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 8} = \sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] (m).

Do các phần hình tam giác có diện tích bằng nhau nên ta có:

FG = GH = HE = EF = \[\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] (m).

Suy ra, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi \[\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] nhỏ nhất.

Với mọi 0 < x < 4, ta có:

2(x – 2)2 ≥ 0

2(x – 2)2 + 8 ≥ 8

\[\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] ≥ \[\sqrt 8 \]

\[4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] ≥ \[4\sqrt 8 \]

\[4\sqrt {2{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 8} \] ≥ \[8\sqrt 2 \].

Do đó, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất bằng \[8\sqrt 2 \] (m) khi x – 2 = 0 hay x = 2 (m).

Vậy khoảng cách từ A đến E bằng 2 m thì tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay