Cho một mảnh giấy hình vuông ABCD cạnh 6 cm. Gọi E, F lần lượt là hai điểm nằm trên cạnh AD và BC sao choAE = 2cm; BF = 3 cm. Bạn Nam muốn cắt một hình thang EFGH (như hình bên) sao cho hình
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: A
Diện tích hình vuông ABCD là 62 = 36 (cm2).
Diện tích tam giác BEF là \[\frac{1}{2}\].3.(6 – 2) = 6 (cm2).
Diện tích hình thang EFGH là:
SABCD − SBEF – SAHE – SDHG – SCGF = 30 – (SAHE + SDHG + SCGF).
Để diện tích hình thang EFGH nhỏ nhất thì SAHE + SHDG + SCGF có diện tích lớn nhất.
Ta có: SAHE + SHDG + SCGF = \[\frac{1}{2}\].2x + \[\frac{1}{2}\](6 – x)(6 – y) + \[\frac{1}{2}\].3y
= 2x + (6 – x)(6 – y) + 3y
= 2x + 36 – 6y – 6x + xy + 3y
= 36 + xy – 4x – 3y.
Xét ∆AEH và ∆CGF, có: \[\widehat {EAH} = \widehat {GCF}\] = 90° và \[\widehat {AEH} = \widehat {CGF}\] (do EFGH là hình thang).
Suy ra ∆AEH ᔕ ∆CGF (g-g) nên \[\frac{{AH}}{{CF}} = \frac{{AE}}{{CG}}\] hay \[\frac{2}{y} = \frac{x}{3}\] do đó xy = 6 hay y = \[\frac{6}{x}.\]
Từ đó, ta có: 2(SAHE + SHDG + SCGF) = 21 – \[\left( {2x + \frac{9}{x}} \right)\].
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì 2x + \[\frac{9}{x}\] đạt giá trị nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(2x + \frac{9}{x} \ge 2\sqrt {2x.\frac{9}{x}} = 6\sqrt 2 \)
Dấu “=” xảy ra khi 2x = \[\frac{9}{x}\] hay 2x2 = 9 khi x = \[\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\].
Do đó, SAHE + SHDG + SCGF = 21 – 6\[\sqrt 2 \] và
SEFGH = 30 – 21 + 6\[\sqrt 2 \] = 9 + 6\[\sqrt 2 \] (cm2).
Vậy AH = x = \[\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\] (cm2) thì diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập