Câu hỏi:

25/01/2025 72

Tìm m để bất phương trình\[\frac{{{\rm{3sin2x + cos2x}}}}{{{\rm{sin2x + 4co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 1}}}} \le {\rm{m + 1}}\]đúng với mọi\[{\rm{x}} \in \mathbb{R}\]

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đặt\[{\rm{y = }}\frac{{{\rm{3sin2x + cos2x}}}}{{{\rm{sin2x + 4co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x + 1}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{3sin2x + cos2x}}}}{{{\rm{sin2x + 2cos2x + 3}}}}\]

(Do\[{\rm{sin2x + 2cos2x + 3 > 0,}}\forall {\rm{x}} \in \mathbb{R} \Rightarrow \]hàm số xác định trên\(\mathbb{R}\))

\[ \Leftrightarrow \left( {{\rm{3}} - {\rm{y}}} \right){\rm{sin}}\,{\rm{2x + }}\left( {{\rm{1}} - {\rm{2y}}} \right){\rm{cos2x = 3y}}\]

Suy ra\[\left[ {{{\left( {{\rm{3}} - {\rm{y}}} \right)}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\left( {{\rm{1}} - {\rm{2y}}} \right)}^{\rm{2}}}} \right]\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{2x + co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{2x}}} \right) \ge {\rm{9}}{{\rm{y}}^{\rm{2}}} \Leftrightarrow {\rm{2}}{{\rm{y}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5y}} - 5 \le 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{ - 5 - \sqrt {65} }}{4} \le {\rm{y}} \le \frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\]

\[ \Rightarrow \max {\rm{y = }}\frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4}\]. Yêu cầu bài toán \[ \Leftrightarrow \frac{{ - 5 + \sqrt {65} }}{4} \le {\rm{m + 1}} \Leftrightarrow {\rm{m}} \ge \frac{{\sqrt {65} - 9}}{4}\]

Đáp án cần chọn là: C

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Đặt\[{\rm{t = cos2x,}}\, - 1 \le {\rm{t}} \le 1\]

Phương trình\[{\rm{3f}}\left( {{\rm{cos2x}}} \right) - {\rm{4 = 0}}\]trở thành\[{\rm{3f}}\left( {\rm{t}} \right) - {\rm{4 = 0}} \Leftrightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{t}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{4}}}{{\rm{3}}}\]

Từ bảng biến thiên ta có\[{\rm{t = 1,}}\,{\rm{t = a}} \in \left( { - 1;0} \right)\]

Ta có bảng biến thiên của\[{\rm{y = cosx}}\]trên\[\left[ { - \frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{; 2\pi }}} \right]\]

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau    Số nghiệm thuộc đoạn  [ − 3 π 2 ; 2 π ]  của phương trình  3 f ( c o s 2 x ) − 4 = 0  là (ảnh 2)

* Với\[{\rm{t = 1}} \Rightarrow {\rm{cos2x = 1}} \Leftrightarrow {\rm{2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = 2}} \Leftrightarrow {\rm{cosx = }} \pm 1\]

Từ bảng biến thiên của hàm\[{\rm{y = cosx}}\]trên\[\left[ { - \frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{; 2\pi }}} \right]\]ta có \[{\rm{cosx = }} \pm 1\] có bốn nghiệm phân biệt

*Với \[{\rm{t = a,}}\,{\rm{a}} \in \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow {\rm{cos2x = a}} \Leftrightarrow {\rm{2co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = a + 1}} \Leftrightarrow {\rm{cosx = }} \pm \sqrt {\frac{{{\rm{a}} + 1}}{2}} \]

Khi đó, từ bảng biến thiên của hàm \[{\rm{y = cosx}}\] trên \[\left[ { - \frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{; 2\pi }}} \right]\]ta có \[{\rm{cosx = }}\sqrt {\frac{{{\rm{a}} + 1}}{2}} \, \in \left( {0;1} \right)\] có ba nghiệm phân biệt; \[{\rm{cosx = }} - \sqrt {\frac{{{\rm{a}} + 1}}{2}} \, \in \left( { - 1;0} \right)\] có bốn nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình có 11 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải

Vì\[{\rm{sin}}\left| {\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{178}}}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{60}}} \right)} \right| \le {\rm{1}} \Rightarrow {\rm{y = 4sin}}\left| {\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{178}}}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{60}}} \right){\rm{ + 10}} \le {\rm{14}}} \right|\]

Ngày có ánh nắng mặt trời chiếu nhiều nhất

\[ \Leftrightarrow {\rm{y = 14}} \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left| {\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{178}}}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{60}}} \right)} \right|{\rm{ = 1}} \Leftrightarrow \frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{178}}}}\left( {{\rm{t}} - {\rm{60}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ + k2\pi }} \Leftrightarrow {\rm{t = 149 + 356k}}\]

Mà \[0 < {\rm{t}} \le 365 \Leftrightarrow 0 < 149 + 356{\rm{k}} \le 365 \Leftrightarrow - \frac{{149}}{{356}} < {\rm{k}} \le \frac{{54}}{{89}}\]

Vì\[{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\] nên k = 0.

Với k = 0 t = 149 tức rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày, tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2017 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện \[0 < t \le 365\]thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).

Đáp án cần chọn là: B

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP