Một xe tải có chiều rộng là $2,4\;{\rm{m}}$ chiều cao là $2,5\;{\rm{m}}$ muốn đi qua một cái cổng hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là $2\sqrt 5 \;{\rm{m}}$ (bỏ qua độ dày của cổng).
a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ gọi parabol $(P):y = a{x^2}$ với a $ < 0$ là hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn đi qua. Chứng minh $a = - 1$.
b) Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 54 bài tập Hàm số bậc hai và giải bài toán bằng cách lập phương trình có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được tính theo đơn vị mét. Do khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m nên ${\rm{MA}} = {\rm{NA}} = 2\;{\rm{m}}$. Theo giả thiết ta có ${\rm{OM}} = {\rm{ON}} = 2\sqrt 5 $.
Xét vuông tại $A$, ta có: ${\rm{OA}} = \sqrt {{\rm{O}}{{\rm{M}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{M}}^2}} = \sqrt {{{(2\sqrt 5 )}^2} - {2^2}} = 4\;{\rm{m}}$.
$ \Rightarrow {\rm{M}}(2; - 4) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow - 4 = a{.2^2} \Rightarrow a = - 1$.

Hỏi xe tải có đi qua cổng được không? Tại sao? (ảnh 1)

b) Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải đi vào chính giữa cổng.
$ \Rightarrow {\rm{AB}} = 2,5\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{OB}} = {\rm{OA}} - {\rm{AB}} = 4 - 2,5 = 1,5\;{\rm{m}}$
$({\rm{HT}}):y = - \frac{3}{2}$
Đường thẳng này cắt Parabol tại 2 điểm có tọa độ thỏa mãn hệ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = - {x^2}}\\{y = - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.$
$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} = \frac{3}{2}}\\{y = - \frac{3}{2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}}\\{y = - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.$ hay $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}}\\{y = - \frac{3}{2}}\end{array} \Rightarrow H\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}; - \frac{3}{2}} \right),T\left( { - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}; - \frac{3}{2}} \right)} \right.$
$ \Rightarrow {\rm{HT}} = 3\sqrt 2 \approx 4,24\;{\rm{m}} > 2,4\;{\rm{m}}.$Vậy xe tải có thể đi qua cổng.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong một trận đấu bóng đá, người ta quan sát được quỹ đạo của quả bóng do thủ môn đá lên từ vạch$5m50$ là một phần của đường cong parabol. Biết rằng, sau 3 giây thì quả bóng lên đến vị trí cao nhất là 9 mét (tham khảo hình vẽ). Hỏi sau mấy giây đầu tiên kể từ khi bóng được đá lên thì đạt độ cao $5m$.

$Hỏi sau mấy giây đầu tiên kể từ khi bóng được đá lên thì đạt độ cao $5m$. (ảnh 1)$

Xem đáp án

Lời giải

Khi Đường đi của quả banh là parabol có dạng: $(P):y = a{x^2}(a < 0)$.
${\rm{B}}( - 3; - 9) \in (P):y = a{x^2} \Rightarrow - 9 = a \cdot {( - 3)^2} \Rightarrow a = - 1$
$(P):y = - {x^2}$
Khi banh đạt độ cao 5 m thì ${\rm{ME}} = {\rm{HE}} - {\rm{HM}} = 9 - 5 = 4\;{\rm{m}}$
$ \Rightarrow {\rm{M}}\left( {{x_M}; - 4} \right) \in (P):y = - {x^2} \Rightarrow - 4 = - x_{\rm{M}}^2 \Rightarrow x_{\rm{M}}^2 = 4 \Rightarrow {x_{\rm{M}}} = - \sqrt 4 = - 2$
Vậy sau 1 giây kể từ khi bóng được đá lên thì đạt độ cao 5 m.

Câu 2

Từ lan can một tòa nhà cách mặt đất $18m$ bạn An ném một chiếc máy bay đồ chơi theo phương ngang xuống đất. Biết máy bay rơi xuống theo quỹ đạo là một đường parabol và sau 6 giây kể từ vị trí cao nhất đó, máy bay rơi chạm mặt đất. Tìm hàm số biểu thị quỹ đạo nhảy của máy bay đồ chơi. Suy ra độ cao của máy bay sau 3 giây.

Xem đáp án

Lời giải

Quỹ đạo máy bay là parabol có dạng: $(P):y = a{x^2}(a < 0)$.
Sau 6 giây kể từ vị trí cao nhất đó, máy bay rơi xuống đất nên khi $y = - 18$ thì $x = 6$.
Khi đó $ - 18 = a{.6^2} \Rightarrow a = \frac{{ - 18}}{{36}} = \frac{{ - 1}}{2}$.
Vậy hàm số biểu thị quỹ đạo của máy bay đồ chơi là: $(P):y = - \frac{1}{2}{x^2}$.
Thay $x = 3$ vào $(P):y = - \frac{1}{2}{x^2} \Rightarrow y = - \frac{1}{2} \cdot {3^2} = - 4,5$
$ \Rightarrow {\rm{MB}} = 4,5\;{\rm{m}} \Rightarrow {\rm{MH}} = {\rm{BH}} - {\rm{MB}} = 18 - 4,5 = 13,5\;{\rm{m}}$
Vậy sau 3 giây thì máy bay cách mặt đất $13,5\;{\rm{m}}$.

Câu 3