Cho phương trình lượng giác \(\sin \left( {5x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\), vậy:

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình \(\sin \left( {5x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{{5\pi }}{6} - 2x} \right)\).

b) Nghiệm của phương trình là \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{14}} + k\frac{{2\pi }}{7}\\x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

c) Trên \[{\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\] phương trình có 4 nghiệm

d) Tổng các nghiệm của phương trình trên \[{\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\] bằng \(\frac{{47\pi }}{{18}}\).

a) b) Phương trình \( \Leftrightarrow \sin \left( {5x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{{5\pi }}{6} - 2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} - 2x + k2\pi \\5x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{14}} + k\frac{{2\pi }}{7}\\x =  - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

c) +) Với \(x = \frac{\pi }{{14}} + k\frac{{2\pi }}{7} \Rightarrow 0 \le \frac{\pi }{{14}} + k\frac{{2\pi }}{7} \le \pi \)

\( \Leftrightarrow  - \frac{\pi }{{14}} \le k\frac{{2\pi }}{7} \le \frac{{13\pi }}{{14}} \Leftrightarrow  - \frac{1}{4} \le k \le \frac{{13}}{4}\). Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\).

Suy ra các nghiệm: \(x = \frac{\pi }{{14}},x = \frac{{5\pi }}{{14}},x = \frac{{9\pi }}{{14}},x = \frac{{13\pi }}{{14}}\).

+) Với \(x =  - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow 0 \le  - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \le \pi \)

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{18}} \le k\frac{{2\pi }}{3} \le \frac{{19\pi }}{{18}} \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} \le k \le \frac{{19}}{{12}}\). Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 1\)

Suy ra các nghiệm: \(x = \frac{{11\pi }}{{18}}\).

Vậy có tất cả 5 nghiệm.

d) Vậy tổng các nghiệm là: \(\frac{{47\pi }}{{18}}\).

Đáp án: a) Đúng;   b) Đúng;   c) Sai;  d) Đúng.