Cho hàm số y = f (x) = x² có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

a) Từ đồ thị của hàm số y = f (x), hãy chỉ ra các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho.

b) Tính đạo hàm f '(x) và xét dấu f '(x).

c) Từ đó, nhận xét về mối liên hệ giữa các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số với dấu của f '(x).

\({f^\prime }(x) > 0\) trên các khoảng \(( - 1;2)\) và \((4;5)\) nên \({f^\prime }(x)\) đồng biến trên các khoảng \(( - 1;2)\) và \((4;5)\) \({{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}}) < 0\) trên các khoảng \(( - 2; - 1)\) và \((2;4)\) nên \({{\rm{f}}^\prime }({\rm{x}})\) nghịch biến trên các khoảng \(( - 2; - 1)\) và \((2;4)\)

Ta có: \({f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{x = 2}\\{x = 4}\end{array}} \right.\)

Vậy \(f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x = - 1\) và \(x = 4\) do \({f^\prime }(x)\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \(x = - 1\) và \(x = 4\), đạt cực đại tại \(x = 2\) do \({f^\prime }(x)\) dổi dấu từ dương sang âm khi đi qua \(x = 2\)

Hàm số \({\bf{y}} = {\bf{f}}({\bf{x}})\) có:

\({\rm{x}} = 5\) là điểm cực đại vì \({\rm{f}}({\rm{x}}) < {\rm{f}}(5)\) với mọi \(x \in (3;7)\backslash \{ 5\} ,{y_{cd}} = f(5) = 5\)

\({\rm{x}} = 3\) là điểm cực tiểu vì \({\rm{f}}({\rm{x}}) > {\rm{f}}(3)\) với mọi \(x \in (1;5)\backslash \{ 3\} ,{y_{ct}} = f(3) = 2\)

\({\rm{x}} = 7\) là diểm cực tiểu vì \({\rm{f}}({\rm{x}}) > {\rm{f}}(7)\) với mọi \(x \in (5;9)\backslash \{ 7\} ,{y_{ct}} = f(7) = 1\)