Câu hỏi:

19/08/2025 247 Lưu

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2 m với vận tốc ban đầu là 24,5 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức \[h\left( t \right) = 2 + 24,5t{\rm{ }} - 4,9{t^2}\]. Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Xét hàm số: \(h(t) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \({h^\prime }(t) =  - 9,8t + 24,5;{h^\prime }(t) = 0 \Leftrightarrow  - 9,8t + 24,5 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{2}\)

BBT

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2 m với vận tốc ban đầu là 24,5 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức h(t)=2+24,5t-4,9t^2. Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất? (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt cực đại tại \(t = \frac{5}{2}\),

Vậy thời điểm vật đạt độ cao lớn nhất là \(t = \frac{5}{2}\) giây

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

a) Do tấm kim loại có bề rộng 80 cm nên ta có: 2x + y = 80\[ \Leftrightarrow \]y = 80 – 2x.

Để có thể thiết kế được máng trượt thì y > 0\[ \Leftrightarrow \]80−2x > 0\[ \Leftrightarrow \]x < 40.

Suy ra 0 < x < 40.

Diện tích của mặt cắt máng trượt là: S = xy = x(80 – 2x) = −2x2 + 80x.

b) Ta có: S(x) = − 2x2 + 80x với x \[ \in \] (0 ; 40);

S'(x)= − 4x+80;

S'(x)=0\[ \Leftrightarrow \]− 4x + 80=0\[ \Leftrightarrow \]x = 20.

Bảng biến thiên của hàm số S(x) như sau:

Máng trượt của một cầu trượt cho trẻ em (Hình 5a) được uốn từ một tấm kim loại có bề rộng 80 cm, mặt cắt được mô tả ở Hình vẽ. Nhà thiết kế khuyến cáo, diện tích của mặt cắt càng lớn thì càng đảm bảo an toàn cho trẻ em.  Gọi S là diện tích mặt cắt. Tìm điều kiện của x và viết công thức tính S theo x (ảnh 2)

Do đó, hàm số S(x) đạt cực đại tại x = 20 và S = 80.

Vậy để cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em thì x = 20 cm.

Lời giải

Ta có: \({f^\prime }(t) = \frac{{ - 5000\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\)

Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi \({f^\prime }(t)\) lớn nhất. Đặt \(h(t) = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\).

\({h^\prime }(t) = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2 \cdot \left( { - 5{e^{ - t}}} \right) \cdot \left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right) \cdot 25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)

\( = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 5{e^{ - t}} - 10{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} \Leftrightarrow {h^\prime }(t) = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5({\rm{tm}})\)

Ta có bảng biến thiên với \(t \in [0; + \infty )\):

Giả sử doanh số (tính bẳng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số f(x)=5000/1+5e^-t, t>=0 trong đó thời gian t  được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới (ảnh 1)

Vậy sau khi phát hành khoảng \(\ln 5 \approx 1,6\) năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.