Giả sử doanh số (tính bẳng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số \(f(t) = \frac{{5000}}{{1 + 5{e^{ - t}}}},t \ge 0\), trong đó thời gian \(t\) được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm \({f^\prime }(t)\) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?
Giả sử doanh số (tính bẳng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số \(f(t) = \frac{{5000}}{{1 + 5{e^{ - t}}}},t \ge 0\), trong đó thời gian \(t\) được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm \({f^\prime }(t)\) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \({f^\prime }(t) = \frac{{ - 5000\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\)
Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi \({f^\prime }(t)\) lớn nhất. Đặt \(h(t) = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}\).
\({h^\prime }(t) = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2 \cdot \left( { - 5{e^{ - t}}} \right) \cdot \left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right) \cdot 25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}}\)
\( = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 5{e^{ - t}} - 10{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} \Leftrightarrow {h^\prime }(t) = 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5({\rm{tm}})\)
Ta có bảng biến thiên với \(t \in [0; + \infty )\):
Vậy sau khi phát hành khoảng \(\ln 5 \approx 1,6\) năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Do tấm kim loại có bề rộng 80 cm nên ta có: 2x + y = 80\[ \Leftrightarrow \]y = 80 – 2x.
Để có thể thiết kế được máng trượt thì y > 0\[ \Leftrightarrow \]80−2x > 0\[ \Leftrightarrow \]x < 40.
Suy ra 0 < x < 40.
Diện tích của mặt cắt máng trượt là: S = xy = x(80 – 2x) = −2x2 + 80x.
b) Ta có: S(x) = − 2x2 + 80x với x \[ \in \] (0 ; 40);
S'(x)= − 4x+80;
S'(x)=0\[ \Leftrightarrow \]− 4x + 80=0\[ \Leftrightarrow \]x = 20.
Bảng biến thiên của hàm số S(x) như sau:
Do đó, hàm số S(x) đạt cực đại tại x = 20 và SCĐ = 80.
Vậy để cầu trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em thì x = 20 cm.
Lời giải
a) \({y^\prime } = {f^\prime }(x) = 0,03{x^2} - 0,08x + 0,25\)
b) Tập xác định: \(D = [0;7]\)
Ta có: \({y^\prime } = {f^\prime }(x) > 0\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(y = f(x)\) luôn đồng biến \(\forall x \in [0;7]\)
Vậy kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo