Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(I,J\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,CD\) và \(IJ = \frac{5}{4}\). Gọi \(M,N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BC,AC\). Tính \(\left| {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CI} } \right|\).

a) Sai. Theo tính chất trung điểm đoạn thẳng BC ta có \[\overrightarrow {AN}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\].

b) Sai. Vì G là trọng tâm tam giác \[ABC\] nên \[\overrightarrow {CM}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {CG} \].

c) Đúng. Do M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác \[ABC\], do đó ta có \[\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BA} } \right)\].

d) Đúng. Ta có \[\overrightarrow {AN}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \];

\[\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AM}  \Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow {CM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AM} \].

Suy ra

\[\overrightarrow {AN}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} \].

Do đó \[\overrightarrow {AB}  = \frac{4}{3}\overrightarrow {AN}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} \].

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\overrightarrow {DN}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {CB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  + \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{5}{4}\overrightarrow {AB}  - \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} \).

Vậy \(p = \frac{5}{4},q =  - \frac{3}{4}\).