Khoảng cách từ \(A\) đến \(B\) không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm \(C\) mà từ đó có thể nhìn được \(A\) và \(B\) dưới một góc \(78^\circ 24'\). Biết \(CA = 250\,{\rm{m}},CB = 120\,{\rm{m}}\). Khoảng cách \(AB\) gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Giả sử tàu du lịch xuất phát từ vị trí \(A\), chuyển động theo hướng \(N80^\circ E\) tới vị trí \(B\) sau đó chuyển hướng \(E80^\circ S\) tới vị trí \(C\) như hình vẽ dưới đây:

Ta có \(\widehat {ABC} = 180^\circ  - 10^\circ  - 20^\circ  = 150^\circ \).

Tàu chạy từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) với vận tốc \(20\,\,{\rm{km/h}}\) trong 30 phút  (tức 0,5 giờ) nên: \(AB = 20 \cdot 0,5 = 10\) (km).

Tàu chạy từ vị trí  \(B\) đến vị trí  \(C\) với vận tốc \(20\,\,{\rm{km/h}}\) trong 36 phút (tức 0,6 giờ) nên: \(BC = 20 \cdot 0,6 = 12\) (km).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác \(ABC\) ta được:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = {10^2} + {12^2} - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos 150^\circ  \approx 452\).

Suy ra \(AC \approx \sqrt {452}  \approx 21,3\,\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Vậy khi tới đảo Cát Bà thì tàu du lịch cách vị trí xuất phát (bãi biển Đồ Sơn) một khoảng \(21,3\) km. Đáp án: 21,3.

Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = 64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ  = 49\).

Suy ra \(BC = 7\).

Ta có nửa chu vi của \(\Delta ABC\) là: \(p = \frac{{5 + 7 + 8}}{2} = 10\).

Diện tích của \(\Delta ABC\) là: \(S = \sqrt {10 \cdot \left( {10 - 8} \right) \cdot \left( {10 - 5} \right) \cdot \left( {10 - 7} \right)}  = 10\sqrt 3 \).

Vì \(S = \frac{1}{2}AH \cdot BC\)\( \Rightarrow AH = \frac{{2S}}{{BC}} = \frac{{2 \cdot 10\sqrt 3 }}{7} = \frac{{20\sqrt 3 }}{7} \approx 4,95\).

Đáp án: 4,95.