Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = x³ − 3x² + 2.

1. Tập xác định: D = \[\mathbb{R}\].

2. Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Đạo hàm \[y' =  - 3{x^2} - 3x - \frac{3}{2}\] . Do y' < 0 trên \[\mathbb{R}\] nên hàm số NB trên khoảng (−∞; +∞).

Hàm số đã cho không có cực trị.

Các giới hạn tại vô cực: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty \]

- Bảng biến thiên

3. Đồ thị:

Đồ thị của hàm số đi qua gốc toạ độ O(0; 0) và điểm (−1; 1).

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm \[I\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\]

a) Xét hàm số \({\rm{y}} = {{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2\). Tập xác định của hàm số là \({\rm{D}} = {\rm{R}}\).

Ta có \({{\rm{y}}^\prime } = 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}};{{\rm{y}}^{\prime \prime }} = 6{\rm{x}} - 6\); \({{\rm{y}}^{\prime \prime }} = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} = 1.{\rm{ }}\)

Với \({\rm{x}} = 1\), ta có \({\rm{y}}(1) = 0\).

Vậy \({\rm{I}}(1;0)\).

b) Ta có \({{\rm{y}}^\prime } = 0 \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} = 0\) hoă̆c \({\rm{x}} = 2\).

Bảng biến thiên: